Grenzwert einer Potenzreihe bestimmten

04.02.2021, 22:04

Student1011

Grenzwert einer Potenzreihe bestimmten

Hallo liebes Forum,

es geht um folgende Aufgabe:

[attach]52631[/attach]

Ich habe eine Formelsammlung die darf ich mit in die Klausur nehmen, jedoch verwirrt mich das ganze etwas.

Undzwar soll ich im folgenden den Grenzwert von dem Term bestimmen, welcher oben ist. Mit der Regel von Lopital komm ich nicht weit, das ist mir auch klar. Da hab ich habe ich was anderes versucht

1.) Ich habe im Zähler sin(x) durch die ersten 3 Glieder aus der Potenzreihe ersetzt.

2.) Im Nennen habe ich $\begin{eqnarray*} (1-cos(x))^2 \end{eqnarray*}$ ausmultipliziert so dass ich am Ende folgendes habe:

$\begin{eqnarray*} <=>1-2*cos(x)+cos(x)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>\frac{3}{2}-2cos(x)+cos(2x) \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich dich denn cos(x) druch die ersten drei Gleider der Potenzreihe ersetzt sowie cos(2x).

Aber irgendwie komm ich nicht auf das ergebniss. Abgesehen davon, gibt diese Aufgabe nur 6 Punke. Daher kann ich mir nicht Vorstellen, dass es so schwer sein kann.

Ich hoffe (ich weiß es eher gesagt) ihr habt eine Antwort :-)

04.02.2021, 22:13

URL

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RE: Grenzwert einer Potenzreihe bestimmten
warum ersetzt du im Nenner nicht einfach 1-cos(x) durch die Potenzreihe?

04.02.2021, 22:15

HAL 9000

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Erweitern mit $\begin{eqnarray*} \left(1+\cos(x)\right)^2 \end{eqnarray*}$ liefert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{x^3\sin(x)}{\left(1-\cos(x)\right)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^3\sin(x)}{\left(1-\cos^2(x)\right)^2}\cdot \left(1+\cos(x)\right)^2 = \lim_{x\to 0} \frac{x^3\sin(x)}{\sin^4(x)}\cdot \lim_{x\to 0} \left(1+\cos(x)\right)^2 = \lim_{x\to 0} \left(\frac{x}{\sin(x)}\right)^3\cdot 2^2 = 1^3\cdot 4 = 4 \end{eqnarray*}$ .

Dabei setze ich die Kenntnis von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ voraus - wenn nicht, dann in einer Hilfsrechnung nachweisen.

04.02.2021, 22:24

Student1011

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Wow jetzt bin ich begeistert und fasziniert das, dass so schnell geht. Das hab ich gar nicht so gesehen. Aber ich aber noch fragen bezüglich dies.

1.) Ist es wirklich erlaubt, den Limes von einer Produkt seperat zu berrechnen und am Ende zu Multiplizieren ?

2.) In der Aufgabenstellung Stand drinne, dass ich es mit der Hilfe den Potenzreihen machen soll. Jetzt bin ich am grübeln, ob es richtig gewesen wäre ohne dies zu tun. Also so wie du es gemacht hast.

3.) Ferner, du hast den Zähler und dennen Nenner erweitert und hast den Nenner zusammen gefasst zu $\begin{eqnarray*} sin(x)^4 \end{eqnarray*}$ richtig ?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

04.02.2021, 22:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Student1011
1.) Ist es wirklich erlaubt, den Limes von einer Produkt seperat zu berrechnen und am Ende zu Multiplizieren ?

Wenn die beiden Faktoren einzeln konvergieren: Ja! Was hier ja der Fall ist, wie die weitere Rechnung zeigt.

Zitat:

Original von Student1011
2.) In der Aufgabenstellung Stand drinne, dass ich es mit der Hilfe den Potenzreihen machen soll.

Ja, sehe ich jetzt auch. Na dann hast du meine Rechnung zumindest zum Vergleich. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Student1011
3.) Ferner, du hast den Zähler und dennen Nenner erweitert und hast den Nenner zusammen gefasst zu $\begin{eqnarray*} sin(x)^4 \end{eqnarray*}$ richtig ?

Naja, das mit dem Erweitern hatte ich ja geschrieben. Details zur Nennerrechnung sind $\begin{eqnarray*} (1-\cos(x))(1+\cos(x)) = 1-\cos^2(x) = \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ , letztere Gleichheit sollte bekannt sein.

04.02.2021, 22:34

Student1011

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Student1011
1.) Ist es wirklich erlaubt, den Limes von einer Produkt seperat zu berrechnen und am Ende zu Multiplizieren ?

Wenn die beiden Faktoren einzeln konvergieren: Ja! Was hier ja der Fall ist, wie die weitere Rechnung zeigt.

Zitat:

Original von Student1011
2.) In der Aufgabenstellung Stand drinne, dass ich es mit der Hilfe den Potenzreihen machen soll.

Ja, sehe ich jetzt auch. Na dann hast du meine Rechnung zumindest zum Vergleich. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Student1011
3.) Ferner, du hast den Zähler und dennen Nenner erweitert und hast den Nenner zusammen gefasst zu $\begin{eqnarray*} sin(x)^4 \end{eqnarray*}$ richtig ?

Danke für deine ausfürhliche beschreibung :-) hast mir echt geholfen.

Jedoch stehe ich immer noch auf dem Schauch bezüglich dessen, wie ich die Aufgabe lösen könnte wie es vom Aufgabensteller gestellt worden ist. Hier ein Auszug aus der Formelsammlung. Vielleicht fällt dir ja etwas ein. Also mir leider nichts.

[attach]52632[/attach]

04.02.2021, 22:52

HAL 9000

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RE: Grenzwert einer Potenzreihe bestimmten
Naja, es gilt nach wie vor:

Zitat:

Original von URL
warum ersetzt du im Nenner nicht einfach 1-cos(x) durch die Potenzreihe?

Ich weiß nicht, ob ihr schon von Landau-Symbolen gehört habt - mit denen würde man das hier von den Potenzreihen benötigte so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = x + O\left(x^3\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O\left(x^4\right) \end{eqnarray*}$

und dann einsetzen und weiter umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3\sin(x)}{\left(1-\cos(x)\right)^2} = \frac{x^3\left(x+O\left(x^3\right)\right)}{\left(1-\left(1-\frac{x^2}{2}+O\left(x^4\right)\right)\right)^2} = \ldots \end{eqnarray*}$

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