Kritische Punkte einer Funktion bestimmen (mehrere Variablen) |
| 05.02.2021, 17:19 | student1978 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kritische Punkte einer Funktion bestimmen (mehrere Variablen) Hallo, wir müssen die kritischen Punkte der Funktion f(x,y) = x^3 + 2y berechnen. Eigentlich weiß ich ja wie das geht. Aber in diesem Beispiel habe ich ein kleines Problem. Meine Ideen: Zuerst muss man ja den Gradienten berechnen. Also die partiellen Ableitungen. Die wären ja hier: 3x^2 und 2 Jetzt muss man diese auf 0 setzen. Bei 3x^2 kein Problem, da muss x=0 sein damit der gesamte Ausdruck 0 wird. Bei 2 allerdings steht da jetzt 2=0, und das ist ja unmöglich. Was bedeutet das jetzt für die kritischen Punkte? Dass es nur einen kritischen Punkt mit x=0 gibt? Oder dass es gar keine kritische Punkte gibt da das gesamte Gleichungssystem unlösbar ist? |
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| 05.02.2021, 19:03 | rumar | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Kritische Punkte einer Funktion bestimmen (Mehrere Variablen) In jedem kritischen Punkt (Punkt mit horizontaler Tangentialebene im x-y-z-Koordinatensystem) müsste insbesondere auch die partielle Ableitung gleich null sein. Da dies offensichtlich hier in diesem Beispiel unmöglich ist, hat der Graph der Funktion also keinen kritischen Punkt. Insbesondere kann also die Funktion keinen (endlichen) Punkt haben, in welchem sie einen absolut maximalen oder absolut minimalen Wert annimmt. |
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| 05.02.2021, 19:12 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Funktion z(x,y)=x³+2y kann man anschaulich als "Gebirge" über der xy-Ebene interpretieren. In der Tat hat dieses Gebirge keine kritischen Punkte und folglich keine Extrema, wenn man als Definitionsbereich die gesamte xy-Ebene betrachtet. Ich vermute, dass in deiner Aufgabe der Definitionsbereich einschränkt ist. Zum Beispiel könnte man diese Funktion nicht über der gesamte xy-Ebene betrachten, sondern nur über dem Kreis x²+y²=R². In diesem Falle läge ein Extremum auf dem Rand des Kreises. Das bedeutet, der höchste oder der tiefste Punkt des "Gebirges" über dem Kreis liegt auf dessen Rand. Schau' also mal nach, ob in deiner Aufgabe der Definitionbereich irgendwie eingeschränkt ist. |
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| 06.02.2021, 13:56 | student1978 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Kritische Punkte einer Funktion bestimmen (Mehrere Variablen) @rumar @Ehos Vielen Dank für die Antworten, jetzt verstehe ich das viel besser 
Tatsächlich ist der Definitionsbereich in dieser Aufgabe nicht eingeschränkt, es ging darum die kritischen Punkte zu erkennen falls welche vorhanden sind, und es waren auch noch andere Beispiele ohne kritische Punkte da. Auf jeden Fall kann ich das alles jetzt viel besser nachvollziehen. |
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| 16.02.2021, 16:24 | student1978 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kritische Punkte einer Funktion bestimmen Meine Frage: Hallo! Ich habe eine Aufgabe gelöst, in der die kritischen Punkte einer Funktion mit mehreren Veränderlichen gefunden werden müssen. Zu diesem Thema habe ich schon einmal eine Frage erstellt und zwar hier: https://www.matheboard.de/archive/598308/thread.html Ich hab die beiden Threads aus Übersichtlichkeitsgründen zusammengefügt. Steffen Jedoch bin ich mir nicht sicher ob ich diese Aufgabe korrekt gelöst habe, da bei mir überall herausgekommen ist, dass es keine kritischen Punkte gibt, was ich schon etwas seltsam finde, da es ja in dieser Aufgabe explizit darum ging. Meine Ideen: Ich habe meine Lösungen in ein Bild gepackt, das macht es wohl übersichtlicher. Wenn dort Fehler vorhanden sind freue ich mich über eine Erklärung was denn genau falsch war. Die Formalitäten sind erstmal nicht wichtig, es geht hier nur darum ob die Lösung richtig ist oder nicht. |
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| 16.02.2021, 17:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Kritische Punkte einer Funktion bestimmen Von meiner Seite keine Einwände.
(Formalitäten mögen nicht wichtig sein, aber einen Äquivalenzpfeil sollte man nur dort verwenden, wo er auch hinpaßt.) |
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| 16.02.2021, 17:22 | student1978 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Kritische Punkte einer Funktion bestimmen Alles klar danke!
Also der Äquivalenzpfeil sollte da nicht sein? Ich dachte er wäre sinnvoll um darzustellen dass z.B. 2x=0 nur dann gilt wenn x=0 ist. |
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| 18.02.2021, 08:14 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Kritische Punkte einer Funktion bestimmen Da paßt er auch, aber eher nicht bei " unmöglich".
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