Differentialgleichungen

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topi12 Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen
Meine Frage:
Kann mir jemand erklären, wie ich auf die Lösung von diesem Beispiel komme?

Meine Ideen:
Ich dachte ich versuche es mit Picard Lindelöf aber komme auf nichts...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Gälte für eine Lösung die Limesbeziehung



würde das insbesondere implizieren, daß die Lösung für alle definiert wäre und ein existierte, so daß



Aus der Differentialgleichung würde dann folgen:



Das ist aber ein Widerspruch zu für .
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen, für konvergiert gegen eine Konstante. Infolge konvergiert gegen null.

Die Funktion besitzt die Nullstellen und . Laut Dgl. gilt . Weil stetig ist, darf man rechnen



Unter der getroffenen Prämisse muss also entweder gegen oder konvergieren.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_
Angenommen, für konvergiert gegen eine Konstante. Infolge konvergiert gegen null.


Das gilt im Allgemeinen nicht, wie man z.B. an schön sieht. Man kann hier aber direkt mit der Differentialgleichung argumentieren, dass hier gegen eine Konstante konvergieren muss.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, ja. Dann müssen wir Funktionen mit so bizarrer Ableitung bei dieser Überlegung wohl extra aussieben. Das Gegenbeispiel hat ja beliebig steile Wellen. Macht unbeschränkte zweite Ableitung; die erste ist demnach nicht dehnungsbeschränkt.

Lemma. Die differenzierbare Funktion konvergiere für gegen eine Konstante. Ist zudem dehnungsbeschränkt, dann muss für

Beweis. Laut Cauchy-Kriterium ist zu jedem ab einer bestimmten Stelle die Ungleichung



für alle erfüllt. Somit



Aufgrund der Dehnungsbeschränkung ist nun auch der Wert beschränkt. Sei dazu die Lipschitz-Konstante. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei Fallen darf maximal mit dem Anstieg In diesem Fall ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Flächeninhalt



Das macht Weil das für alle gilt und beliebig klein gewählt werden kann, muss für q.e.d.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]52649[/attach]
 
 
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Lösung des Anfangswertproblems

Richtungsfeld und Lösung

Stromlinien des Richtungsfeldes und Lösung

Phasenraumkurve zur Dgl.

Phasenraumkurve der berechneten Lösung
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mir so überlegt. Vorneweg definiere ich die Funktion durch



1. Der Integrand ist gerade. Wegen ist daher ungerade.

2. Weil der Integrand positiv ist, ist streng monoton wachsend.

3. Für schätzt man ab:



Weil das letzte Integral für divergiert, schließt man:



Aus dem Bisherigen folgt, daß bijektiv ist und damit eine Umkehrfunktion besitzt. ist ungerade, streng monoton wachsend, und es gilt:



Dieses ist die Lösung des Anfangswertproblems



Denn durch Trennen der Veränderlichen erhält man , und mit folgt daraus:



topi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten!!
ich habe es jetzt auch mit dem Euler-Polygonzugverfahren gemacht und komme damit auch auf den Grenzwert 1.
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