Punkt bestimmen mithilfe des Gradienten

07.02.2021, 14:56	gradient2019	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt bestimmen mithilfe des Gradienten Meine Frage: Hallo, habe eine Prüfungsaufgabe, bei der ich Teile der Lösung nicht nachvollziehen kann (habe diese unten angehängt). Ich hoffe, jemand kann mir den Zwischenschritt, auf den ich nicht komme, erklären (farblich hervorgehoben). Folgendes ist gefragt: Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y)=4x^{0,25}y^{0,75} \end{eqnarray}$ In welchem Punkt (x_0, y_0) der Niveaulinie f(x,y)=8 ist die Richtung der stärksten Funktionszunahme durch den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben? Meine Ideen:* $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ Mir ist klar, dass hier der Gradient bestimmt werden muss, was ich auch erfolgreich geschafft habe. Nur verstehe ich jetzt nicht, wie man zur Folgerung $\begin{eqnarray} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 48 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kommt sowie den darauffolgenden Schritt. Vllt. hab ich mittlerweile aber auch einfach schon ein Brett vorm Kopf
07.02.2021, 16:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punkt bestimmen mithilfe des Gradienten ich vermute, $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist ebenso ein Tippfehler wie $\begin{eqnarray} y_0=16 \end{eqnarray}$ in der Musterlösung. Der Gradient liefert dir zwei Gleichungen, für jede Komponente eine. Im nächsten Schritt wird dann die zweite Gleichung durch die erste dividiert. Damit eliminiert man den Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$
07.02.2021, 17:55	gradient2019	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für deine Antwort. Wo siehst du $\begin{eqnarray} y_0=16 \end{eqnarray}$ ? Dachte, dass $\begin{eqnarray} y_0=1 \end{eqnarray}$ ? Falls du die letzte Zeile meinst, das ist wohl ein Produkt, nur ohne . Wenn wir mal davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kein Tippfehler ist, kannst du den Gedankengang nachvollziehen?
07.02.2021, 19:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Pardon, ich hatte in der letzten Zeile ein Komma hinzugedichtet und $\begin{eqnarray} x_0=16 \textcolor{red}{,} y_0=... \end{eqnarray}$ gelesen. Die Aufgabe finde ich ohnehin merkwürdig. Wenn man nach der Richtung der stärksten Funktionszunahme fragt, würde ich als Antwort den Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \nabla f/\\|\nabla f\\| \end{eqnarray}$ erwarten, aber weder $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 48 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist ein solcher. Falls $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kein Fehler ist, kann ich mir das Auftauchen der Zahl 48 nicht erklären. Aus der Höhenlinie $\begin{eqnarray} 8=f(x,y) \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} x^{1/4}=2y^{-3/4} \end{eqnarray}$ , das eingesetzt in den Gradienten liefert $\begin{eqnarray} \nabla f (x,y)= \begin{pmatrix} \frac 1 8 y^3 \\ 6 y^{-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und da scheint die 48 schon durch und die Lösungen werden handlich. Mit der Vorgabe $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ komme dagegen auf $\begin{eqnarray} y^4=12 \end{eqnarray}$ Edit: Man kann das mal mit der allgemeinen Bedingung $\begin{eqnarray} \nabla f (x,y)= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durchrechnen und bekommt $\begin{eqnarray} y=2\left(\frac{3a}{b}\right)^{1/4}, x=\frac{b}{3a}y \end{eqnarray}$

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