Flächeninhalt berechnen

07.02.2021, 17:26

Ozahitzl

Flächeninhalt berechnen

Meine Frage:
So... der Prof meines kleinen Bruders hat als kleine Testaufgabe zum Üben folgende Gleichung rausgehauen:

$\begin{eqnarray*} \int_{G}^{} \! \, d^{2}xxy \end{eqnarray*}$

G ist in diesem Fall der Flächeninhalt eines Viertelkreisrings in Polarkoordinaten also $\begin{eqnarray*} r_2 \frac{\pi}{2} (r_2 - r_1) \end{eqnarray*}$
(zumindest hab ich mir das so zusammen gereimt)

Jetzt hab ich keine Ahnung was ich mit $\begin{eqnarray*} d^{2}xxy \end{eqnarray*}$ anfangen soll.

Meine Ideen:
Soweit ich das verstanden hab ist das ne Kurzschreibweise für ein Doppelintegral, aber da bin ich mir überhaupt unsicher.

07.02.2021, 17:36

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RE: faule schreibweise für integrale
ulkig, dass dein kleiner Bruder Flächenintegrale berechnen soll, aber dich schickt, um diesen Thread zu erstellen. Was es nicht alles gibt smile

G ist das Integrationsgebiet, also eher nicht der Flächeninhalt von irgend etwas, denn das ist eine Zahl. Deine Polarkoordinaten sehen auch merkwürdig aus. Was soll da Radius, was Winkel sein?
Poste bitte die Originalaufgabe.

07.02.2021, 17:56

Ozahitzl

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RE: faule schreibweise für integrale
Er schickt mich nicht. Aber ich bin neugierig und geb mich mit einem "Ach is doch egal ob ich die Aufgabe mache" nicht zufrieden.

Mangels Scanner mal ich grad mal die Abbildung ab.

Unter der Abbildung stehen folgende zwei Sätze:

a) Drücken Sie G in Polarkoordinaten aus.
b) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \int_{G}^{} \! \, d^{2}xxy \end{eqnarray*}$

07.02.2021, 18:03

Ozahitzl

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RE: faule schreibweise für integrale

Zitat:

Deine Polarkoordinaten sehen auch merkwürdig aus. Was soll da Radius, was Winkel sein?

Bin da von der Standardformel $\begin{eqnarray*} r d\alpha dr \end{eqnarray*}$ aus gegangen mit
$\begin{eqnarray*} r=r_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d\alpha = 90° = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dr=r_2-r_1 \end{eqnarray*}$

Edit: Man kann wohl kein "phi" einfügen... aber das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ wäre eigentlich eins

07.02.2021, 18:34

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RE: faule schreibweise für integrale
G ist also ein Viertelkreisring.
In Polarkoordinaten gilt für den Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} r_1\leq r \leq r_2 \end{eqnarray*}$ und für den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 0\leq \varphi \leq \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ .
Nachdem du vom Flächeninhalt gesprochen hast, geht es wohl um das $\begin{eqnarray*} \int_G d^2xy \end{eqnarray*}$ , das zweite x nehme ich als Tippfehler.
In Polarkoordinaten wird das dann $\begin{eqnarray*} \int_{r_1}^{r_2}\int_0^{\pi/2}rdrd\varphi \end{eqnarray*}$ . Rechnet man die beiden Intragrale aus, ist mitnichten $\begin{eqnarray*} r_2 \frac{\pi}{2} (r_2 - r_1) \end{eqnarray*}$ .
Zur Kontrolle kann man das ganze natürlich ganz ohne Integral nur mit dem bekannten Flächeninhalt eines Kreises machen.

07.02.2021, 19:00

Ozahitzl

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RE: faule schreibweise für integrale
Moment das war zu schnell. Also nochmal langsam.

zu Aufgabenteil a)

Ja, G ist ein Viertelkreisring (steht ja auch direkt im ersten Post).
Beliebige Stücke eines Kreisflächenausschnitts berechnet man laut den Unterlagen der TU Chemnitz mit der Formel $\begin{eqnarray*} r d\varphi dr \end{eqnarray*}$
r ist doch einfach der Radius, also $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d\varphi \end{eqnarray*}$ ist der Winkelausschnitt also beim Halbkreis zwischen 0° und 90° also 90° also $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
und dr ist die Differenz zwischen den Radien also $\begin{eqnarray*} r_2 - r_1 \end{eqnarray*}$
so kam ich auf die Formel

zu Aufgabenteil b)

das $\begin{eqnarray*} d^{2}xxy \end{eqnarray*}$ steht halt leider genau so da. Also hat entweder der Prof 'nen Tippfehler oder es ist halt doch genau so die Aufgabenstellung

07.02.2021, 19:45

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RE: faule schreibweise für integrale

Zitat:

Viertelkreisring (steht ja auch direkt im ersten Post).

hatte ich überlesen, pardon.

Zitat:

Beliebige Stücke eines Kreisflächenausschnitts berechnet man laut den Unterlagen der TU Chemnitz mit der Formel $\begin{eqnarray*} r d\varphi dr \end{eqnarray*}$

Das kann so nicht stimmen, wie du ja gerade siehst. Noch deutlicher wird das, wenn man $\begin{eqnarray*} r_1=0 \end{eqnarray*}$ setzt. Dann bekommst du als Inhalt $\begin{eqnarray*} r_2^2\frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ , also das doppelte des richtigen Wertes.
In den Unterlagen steht aber vermutlich, dass es sich hierbei im eine Näherung handelt, die umso besser ist, je kleiner $\begin{eqnarray*} dr \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d\varphi \end{eqnarray*}$ sind. Letztlich approximiert man mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} r d\varphi dr \end{eqnarray*}$ den Flächeninhalt sehr kleine Stückcken (durch den Inhalt eines Rechtecks). Um den gesuchten gesamten Flächeninhalt zu bekommen, werden dann die ganzen Inhalte addiert. Die Addition schreibt man als Integration $\begin{eqnarray*} \int_{r_1}^{r_2}\int_0^{\pi/2}rdrd\varphi \end{eqnarray*}$

07.02.2021, 19:52

Ozahitzl

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RE: faule schreibweise für integrale
Ahh okay. Dann schau ich mir das nochmal genau an.
Die andere Frage war dann ob $\begin{eqnarray*} d^{2}xy \end{eqnarray*}$ (wenn wir davon ausgehen dass das zweite x nur ein Tippfehler ist) einfach dxdy bedeutet, also ein Doppelintegral.
Aber das hast du ja quasi oben mit beantwortet.
Danke

07.02.2021, 20:02

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RE: faule schreibweise für integrale
Oder du fragst deinen kleinen Bruder smile

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