Reihenentwicklung

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Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenentwicklung
Guten Abend liebes Forum,

es geht um folgende Aufgabe:


[attach]52662[/attach]

Wie man eine Funktion in eine Taylor Reihe ist mir bekannt. Die frage ist jedoch wie man es am geschicktesten machen kann.

Was habt ihr für Vorschläge ?

Mein Ansatzt wäre die Funtkion f(x) drei mal abzuleiten, und hieraus auf das Bildungsgesetz zu schließen. Das kostet jedoch Zeit und ist fehler anfällig. Und die Zeit hat man leider schwer in einer Klausur.

Freue mich über euere Antworten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So etwas kann man auf die geometrische Reihe zurückführen. Man geht von einer Stammfunktion aus



Mit Hilfe der geometrischen Reihe kann man sofort eine Taylor-Entwicklung angeben. Differenzieren führt auf die Reihe für .

Das sieht wie Zauberei aus. Aber es ist nur ein Trick, den man einmal gesehen haben muß und nicht wieder vergessen sollte.
Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
So etwas kann man auf die geometrische Reihe zurückführen. Man geht von einer Stammfunktion aus



Mit Hilfe der geometrischen Reihe kann man sofort eine Taylor-Entwicklung angeben. Differenzieren führt auf die Reihe für .

Das sieht wie Zauberei aus. Aber es ist nur ein Trick, den man einmal gesehen haben muß und nicht wieder vergessen sollte.


Könntest du mir das genauer erklären wie das Funktioniert ? Weil ich verstehe das leider noch nicht so ganz.

Weil im nächstem Schritt müsste ich dann den Konvergrenzradius angeben. Und wie es aussieht habe ich dann am Ende einen Summanden vor der geometrischen Reihe. Ferner was passiert mit t ? Muss am Ende eine Rücksubstitution durch führen ?
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student1011
Könntest du mir das genauer erklären wie das funktioniert ?

Die unendliche geometrische Reihe geht so:

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und bekanntermaßen hat sie den Konvergenzradius 1:



Man kann nun (mit ) substituieren:



Damit hat man eine Taylorreihe um . Und zur Bestimmung des Konvergenzradius kann man ebenfalls substituieren:



Die Reihe in hat daher als Konvergenzradius.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Partialbrüche kann man mit der von Leopold genannten Methode immer auf eine Geometrische Reihe bzw. deren Ableitungen zurückführen - zumindest sofern sowie der Entwicklungspunkt sind.


Ein etwas anderer Zugang zur Reihenentwicklung dieses Terms geht über die Binomische Reihe , sofern bereits bekannt. Mit sowie folgt mit der dann z.B.

.

Funktioniert übrigens auch für nichtganzzahlige . In unserem Fall hier ist (wie von Leopold schon vorgerechnet) . In diesem Fall ist noch die Vereinfachung im Reihenglied möglich.
 
 
Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich alles richtig gemacht habe, kommt das hier raus, ist das aber auch korrekt ?



Ferner, wie würde man hier jetzt den Konvergenzradius bestimmen ? Weil das mit der Substitution verstehe ich nicht so ganz.

Wenn ich das in den Power series creator eingebe kommt folgendes raus:


[attach]52670[/attach]

Ist das was ich aussgerechnet habe mit dem hier äquivalent ?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student1011
Also wenn ich alles richtig gemacht habe, kommt das hier raus, ist das aber auch korrekt ?





da fehlt dem Praktiker schlichtweg, dass Funktion und Taylorreihe am Entwicklungspunkt nicht übereinstimmen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Fast... Setzen wir mal ein: Rauskommen muss , bei dir kommt jedoch raus (deine Reihe MUSS übrigens erst bei anfangen).

Da fehlt irgendwo ein Faktor , wenn ich mal raten soll: Du hast die Kettenregel bei der Differentiation von nicht beachtet...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Früher hab ich erst mal unspektakulär mit der Hand



entwickelt bevor man sich an ranmachte...

Zumindest gab es dann nicht 0 Punkte smile
Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Fast... Setzen wir mal ein: Rauskommen muss , bei dir kommt jedoch raus (deine Reihe MUSS übrigens erst bei anfangen).

Da fehlt irgendwo ein Faktor , wenn ich mal raten soll: Du hast die Kettenregel bei der Differentiation von nicht beachtet...


Aber wieso muss die Reihe jetzt bei n = 1 anfangen ? Also ich habe erst abgeleitet, dann rücksubsituiert. Hätte ich erst rücksustituieren und dann ableiten sollen ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

für bedeutet 1, und das abgeleitet ist 0.

Wenn du aber auch für stur ableitest , dann hast du im Punkt ein -Problem... Daher fällt der Summand für beim Ableiten wirklich weg!!!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal in aller Ausführlichkeit, um die Sache zu einem Ende zu bringen:



Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Früher hab ich erst mal unspektakulär mit der Hand



entwickelt bevor man sich an ranmachte...

Zumindest gab es dann nicht 0 Punkte smile


Vielen dank Herr Pfeifenraucher, wenn alle Stricke reißen werde ich ihren Tipp zu rate nehmen smile

Zitat:
Original von HAL 9000
für bedeutet 1, und das abgeleitet ist 0.

Wenn du aber auch für stur ableitest , dann hast du im Punkt ein -Problem... Daher fällt der Summand für beim Ableiten wirklich weg!!!




Okay das bedeutet, die Reihe muss bei n = 1 anfangen, ansonsten haben wir einen undeffinierten Ausdruck 0/0 richtig ?


Zitat:
Original von Leopold
Hier mal in aller Ausführlichkeit, um die Sache zu einem Ende zu bringen:





Hmm also ich habe dennoch Probleme dir zufolgen. Könntest du mir bitte auch die jeweiligen Beweise liefern ?

Und welche Beedingung muss erfüllt sein, dass ich diese Transformation durch führen kann ?

Und hast du auch bei deiner Rechung die Rücksubstitution durchgeführt ? Sieht irgendwie nicht dannach aus oder ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst aus der Schule die binomische Formel . Und wenn du jetzt ausquadrieren sollst, fragst du dann auch nach einem Beweis, warum man hier und substituieren darf? Und wenn dir jemand schließlich



vorgerechnet hat, willst du dann auch rücksubstituieren?

Du kannst doch in für jeden Ausdruck einsetzen, solange er Werte liefert, die dem Betrage nach kleiner als 1 sind, zum Beispiel :



Diese Gleichung ist gültig für alle reellen außer den ungradzahligen Vielfachen von .
Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Du kennst aus der Schule die binomische Formel . Und wenn du jetzt ausquadrieren sollst, fragst du dann auch nach einem Beweis, warum man hier und substituieren darf? Und wenn dir jemand schließlich



vorgerechnet hat, willst du dann auch rücksubstituieren?

Du kannst doch in für jeden Ausdruck einsetzen, solange er Werte liefert, die dem Betrage nach kleiner als 1 sind, zum Beispiel :



Diese Gleichung ist gültig für alle reellen außer den ungradzahligen Vielfachen von .


Das nenne ich mal stichfeste Argumente.

Welche bedingung muss jedoch letzten Endes erfüllt sein, dass ich diese obige Transformation b.z.w umschreibung durchführen kann ? Wie wäre es zum Beispiel wenn ich diese Funktion hätte:
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Welche bedingung muss jedoch letzten Endes erfüllt sein, dass ich diese obige Transformation b.z.w umschreibung durchführen kann ? Wie wäre es zum Beispiel wenn ich diese Funktion hätte:



Zu dieser Funktionsvorschrift fehlt die Definitionsmenge und genau genommen das

Bei einer Substitution muss natürlich die Definitionsmenge berücksichtigt werden, falls man bei Rücksubstitution dieselbe Funktion in den ursprünglichen Variablen erhalten möchte.
Eigentlich logisch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student1011
Wie wäre es zum Beispiel wenn ich diese Funktion hätte:


Dein Hauptproblem ist, daß du nicht weißt, was dein Problem ist. Und deswegen kannst du es andern auch nicht mitteilen. Ich weiß jedenfalls nicht, was du mit deiner Frage beabsichtigst. Ich verstehe sie nicht. Soll das neue in die geometrische Reihe eingesetzt werden? Oder willst du es in eine Taylorreihe um 2021 entwickeln?
Ich könnte mir vorstellen, daß dein Problem behoben wird, wenn du nur einmal meine Beiträge ganz durchliest und verarbeitest, nicht nur immer den letzten, sondern auch den vorletzten und den vorvorletzten und ... und den ersten. Das hängt doch alles miteinander zusammen und weht nicht freischwebend durch die Lüfte.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student1011

Hmm also ich habe dennoch Probleme dir zufolgen. Könntest du mir bitte auch die jeweiligen Beweise liefern ?

Und welche Beedingung muss erfüllt sein, dass ich diese Transformation durch führen kann ?

Und hast du auch bei deiner Rechung die Rücksubstitution durchgeführt ? Sieht irgendwie nicht dannach aus oder ?


Also, ich verstehe es so, dass du dein f(x) bzw. ein F(x) mit F'(x)=f(x) so umformst, dass es die Summe einer geometrischen Reihe um die vorgegebene Stelle x0 mit dem vorausgesetzten Konvergenzradius ist.
Das ist als Potenzreihe dann auch die Taylorreihe (nach ggfs. gliedweisem Differenzieren).

Beachten muss du dabei, dass man Grenzwert der Summe und Differentiation vertauschen darf.
Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von Student1011
Wie wäre es zum Beispiel wenn ich diese Funktion hätte:


Dein Hauptproblem ist, daß du nicht weißt, was dein Problem ist. Und deswegen kannst du es andern auch nicht mitteilen. Ich weiß jedenfalls nicht, was du mit deiner Frage beabsichtigst. Ich verstehe sie nicht. Soll das neue in die geometrische Reihe eingesetzt werden? Oder willst du es in eine Taylorreihe um 2021 entwickeln?
Ich könnte mir vorstellen, daß dein Problem behoben wird, wenn du nur einmal meine Beiträge ganz durchliest und verarbeitest, nicht nur immer den letzten, sondern auch den vorletzten und den vorvorletzten und ... und den ersten. Das hängt doch alles miteinander zusammen und weht nicht freischwebend durch die Lüfte.


Das siehst du leider komplett falsch ... sehr falsch. Es geht mir nicht um die eine Aufgabe. Es geht mir darum mir eine Standard herangenesweise anzueigenen, womit ich derartige Aufgaben komplett erschlagen kann. So zusagen ein Programm zuhaben womit derartige Funktionen einfach ohne viel nachzudenken berarbeiten.


Wenn du z.B eine Quadratische Gleichunng sieht, was kommt dir da zur aller erst in den Kopf ? Richtig die PQ-Formel. Um diese aber anzuwenden müssen ja auch folgende bedingungen gelten:

1.) Es darf keinMultiplikant vor a
2.) Es darf kein Minus vor

Aber danke nochmals. Ich denke, dieses Thema wäre dann von meiner seite aus geklärt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student1011
Es geht mir darum mir eine Standard herangenesweise anzueigenen, womit ich derartige Aufgaben komplett erschlagen kann. So zusagen ein Programm zuhaben womit derartige Funktionen einfach ohne viel nachzudenken berarbeiten.

Ja, sowas hat man hier leider schon viel zu oft lesen müssen: Nach allgemeinen Rezepten schreien - aber wenn man sie liefert, dann wird das entweder gar nicht wahrgenommen oder aber gejammert "das ist ja viel zu kompliziert, wer soll das denn verstehen".

Das haben nämlich auch diese allgemeinen Rezepte so an sich: "Ohne viel nachzudenken" ist auch mit denen nicht, bei Aufgaben einer gewissen Komplexität (die weit über die einer simplen quadratischen Gleichung hinausgeht) kommt man selbst mit fertigem Rezept nicht mit Dünnbrettbohren durch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student1011
Wenn du z.B eine Quadratische Gleichunng sieht, was kommt dir da zur aller erst in den Kopf ? Richtig die PQ-Formel. Um diese aber anzuwenden müssen ja auch folgende bedingungen gelten:

1.) Es darf keinMultiplikant vor a
2.) Es darf kein Minus vor


Das siehst du leider komplett falsch. Ich kann natürlich nur für mich und nicht für andere sprechen. (Insofern habe ich in meinem vorigen Beitrag nur Mutmaßungen über deine Herangehensweise ausgesprochen, keine unverrückbaren Erkenntnisse. Schließlich kann ich nicht in dich hineinschauen. Ich habe nur versucht, mir zusammenzureimen, wie du zu deinen mir nicht verständlichen Fragen kommst.)
Bei Ansicht einer quadratischen Gleichung werden in mir verschiedenste Assoziationen geweckt, irgendwelche Formeln sind da auch darunter, aber das sind beileibe nicht die einzigen Möglichkeiten. Bei der Entscheidung, wie ich weitermache, hängt es von den Umständen ab. Wenn ich zum Beispiel bei der Berechnung einer Standardabweichung auf eine Gleichung



stoße, wo alle Werte sowieso irgendwie gerundete Dezimalbrüche sind, werde ich natürlich mit der Lösungsformel herangehen und mit dem Taschenrechner einen Dezimalbruch berechnen.

Wenn dagegen in einer Reihe von Übungsaufgaben



vorkommt, schaue ich mir erst die Teiler von 21 an und rechne schnell im Kopf nach, ob zwei von ihnen als Summe 10 haben.

Und soll ich mit dem CAS



auflösen, dann subtrahiere ich auf beiden Seiten , damit das CAS mir nicht einen unverständlichen Wurzelausdruck liefert, sondern ich die Kontrolle über den Lösungsterm behalte, zum Beispiel mögliche Faktorisierungen rechtzeitig erkenne.

Ich versuche, die Methode immer dem Problem anzupassen. Keineswegs gehe ich alle Probleme mit demselben Rezept an. Natürlich kann ich bei der Wahl meines Vorgehens auch einmal danebenliegen und ärgere mich hinterher, daß ich es nicht anders angestellt habe. Trotzdem glaube ich, daß meine Trefferquote, eine adäquate Lösung zu erzielen, deutlich höher ist als in der Rezeptmathematik.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

so ist es.
Viele verwechseln Mathematik mit Rechnen.
Wer mit der abc Formel rechnet ist selber Schuld.

Manche (Schüler) sogar bei 2x^2+0x+(-8)=0

Aber: bei 4 oder gar 5 linearen Gleichungen ohne besondere Merkmale muss man den handschriftlichen Gauß in Matrix-Schreibweise mit spitzem Bleistift und Härte 3B richtiggehend üben.
Denn sonst ist die Lösung eines 5x5 Systems so gut wie immer falsch.- Erfahrungssache!

Einige Tricks bezüglich der Nummerierung und der Platzersparnis sollte man sich zusätzlich noch aneignen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn jemand bei als Lösung , dann weiß ich sofort, wo ich den hintun muß. Dabei hat er doch alles richtig gemacht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten jüngst in unserer Firma einen (für alle Mitarbeiter obligatorischen) Fortbildungskurs "Unbewusste Voreingenommenheit". Aber das hier zählt nicht dazu, denn das ist wohl eher "Bewusste Voreingenommenheit". Big Laugh
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
[...] dann weiß ich sofort, wo ich den hintun muß. Dabei hat er doch alles richtig gemacht.


Du als aktiver Steißtrommler und ich mit 10 Jahren NH verstehen uns da blind Augenzwinkern

Wenn man aber mit Mühe und Not mehrmals auf "reinquadratische Gleichungen" hingewiesen hat, dann das :

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