Spiegelung

08.02.2021, 16:23	carol.	Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelung Meine Frage: Berechne im R^2 die Spur einer Spiegelung um eine beliebige Achse durch den Ursprung. Meine Ideen: Leider steht im Skript nicht viel. Kann mir jemand sagen, wie ich an die Aufgabe rangehen soll und den Begriff für diese Aufgabe, damit ich mich einlesen kann?
08.02.2021, 17:11	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir bezeichnen den Einheitsvektor der Spiegelachse mit $\begin{eqnarray} \vec n=(\cos(\phi)\|\sin(\phi)) \end{eqnarray}$ und betrachten den dazu senkrechten zweiten Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec n'=(-\sin(\phi)\|\cos(\phi)) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec n' \end{eqnarray}$ eine Basis bilden, kann man jeden Vektor, der gespiegelt werden soll, als Linearkombination beider senkrechten Einheitsvektoren darstellen gemäß $\begin{eqnarray} \vec x=x \cdot \begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \end{pmatrix}+x' \cdot \begin{pmatrix} -\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei der Spiegelung S ändert sich nur das Vorzeihen im zweiten Summanden. Der gespiegelte Vektor lautet also $\begin{eqnarray} S\vec x=x\cdot \begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \end{pmatrix}-x'\cdot \begin{pmatrix} -\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} \cos(\phi) & \sin(\phi) \\ \sin(\phi) & -\cos(\phi)\end{pmatrix}}_{\text{Spiegelmtrix} S}\begin{pmatrix} x \\ x' \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun wird es dir nicht schwer fallen, die Spur der Spiegelmatrix S zu berechnen.
08.02.2021, 17:15	carol.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!
08.02.2021, 17:36	carol.	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich dann nochmal nachfragen, wie sich die Matriz dann durch eine Punktspiegelung am Ursprung verhält? Wie ändert sich dann die Matrix?
08.02.2021, 17:46	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Drehmatrix für eine Drehung um einen beliebigen Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ im 2-dimensionalen Raum lautet bekanntlich $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix} \cos(\phi) & \sin(\phi)\\ -\sin(\phi) &\cos(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eine Punktspiegelung im 2-dimensionalen Raum entspricht einer Drehung um den Drehwinkel $\begin{eqnarray} \phi=180° \end{eqnarray}$ . Setze diesen Winkel also in die obige Drehmatrix ein.
09.02.2021, 00:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine alternative Lösung. Die Spur und die Determinante eines Endomorphismus sind nicht abhängig von der Basis, bezüglich derer man die Abbildung durch eine Matrix beschreibt. Ist also $\begin{align} \sigma \end{align}$ die Spiegelung an einer Geraden, so wählt man einen Richtungsvektor $\begin{align} u \end{align}$ der Geraden und einen dazu senkrecht stehenden Vektor $\begin{align} v \end{align}$ als Basis. Hier ist $\begin{align} \sigma(u) = u \end{align}$ und $\begin{align} \sigma(v) = -v \end{align}$ . Die $\begin{align} \sigma \end{align}$ beschreibende Matrix bezüglich $\begin{align} u,v \end{align}$ ist somit $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$ Spur und Determinante von $\begin{align} \sigma \end{align}$ kann man ablesen.
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