Funktionsfolgen und der Beweis zu fn(x) <= fn+1(x)

08.02.2021, 18:10	Lilly1998	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsfolgen und der Beweis zu fn(x) <= fn+1(x) Meine Frage: Hallo. Mein Frage ist, wie ich zeigen kann dass $\begin{eqnarray} f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x) \forall x \in \mathrm{R} \forall n \in \mathrm{N} \end{eqnarray}$ für die Funktionen: 1.) $\begin{eqnarray} \frac{x}{n}\sin(\frac{x}{n} )\frac{1}{1+x^{2} } \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} \frac{1}{n* e^{\frac{x}{n} }-n } \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Ich hab mir folgendes bereits überlegt: 1.) Es muss gelten: $\begin{eqnarray} n\sin(\frac{x}{n} )-(n+1)\sin(\frac{x}{n+1} )\leq 0 \end{eqnarray}$ . Ich hab leider keine Ahnung wie ich das weiter umformen kann bzw. abschätzen kann. Leider weiß ich auch nicht direkt die Eigenschaften des sin hier richtig zu nutzen. 2.) Hier muss gelten: $\begin{eqnarray} nexp(\frac{x}{n} )-(n+1)exp(\frac{x}{n+1} )+1\geq 0 \end{eqnarray}$ . Ich hab dann die linke Seite weiter umgeformt. Erst mit exp (x/n) geteilt und dann das Potenzgesetz angewedet: $\begin{eqnarray} n-(n+1)exp(\frac{-x}{n^2+n} )+\frac{1}{exp(\frac{x}{n}) } \end{eqnarray*}$ . Für x=0 und x>0 hab ich damit auch schon die richtige Abschätzung erhalten. Für x<0 fehlt mir jedoch eine weitere Idee. Eventuell denke ich auch viel zu kompliziert und es würde mit Induktion oder ähnlichen einfacher gehen. Ich würde mich auf jeden Fall über jeden kleinen Tipp freuen. Danke im voraus.
08.02.2021, 20:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Fall 1) ist deine Behauptung sicher falsch. Es gilt hier sogar $\begin{eqnarray} f_n(x)\geq f_{n+1}(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n>\frac{2}{\pi}\|x\| \end{eqnarray}$ . 2) scheint tatsächlich für alle $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ richtig zu sein. Kann man so nachweisen: Sei $\begin{eqnarray} h_x(t) := \frac{e^{xt}-1}{t} \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} h_x'(t) = \frac{1-(1-xt)e^{xt}}{t^2} \geq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t\neq 0 \end{eqnarray}$ (ist ein kleiner Nebenbeweis) folgt u.a. auch $\begin{eqnarray} h_x\left(\frac{1}{n+1}\right) \leq h_x\left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray}$ , was nichts anderes bedeutet als $\begin{eqnarray} \frac{1}{f_{n+1}(x)} \leq \frac{1}{f_n(x)} \end{eqnarray}$ . () Für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ sind alle $\begin{eqnarray} f_n(x) \end{eqnarray}$ positiv, für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ hingegen alle negativ. Durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray} f_n(x)\cdot f_{n+1}(x)>0 \end{eqnarray}$ folgt aus () damit tatsächlich $\begin{eqnarray} f_n(x)\leq f_{n+1}(x) \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f_n(x) \end{eqnarray}$ allerdings nicht mal definiert.

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