Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

09.02.2021, 13:52

student1978

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Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Meine Frage:
Hallo! Bei den Wahrscheinlichkeiten komme ich jetzt schon relativ gut klar, aber da ist noch etwas das ich nicht so ganz verstehe. Und zwar die Dichtefunktion, im Skript und im Internet finde ich nur Fachchinesisch, es wäre gut wenn mir jemand das auf anschauliche Weise erklären könnte. Hier ist die Aufgabe:

"Es sei p:[0,4] -> R (reelle Zahlen) und p(x) = 1/8 * x die Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer reellwertigen Zufallsvariable X mit Wertebereich [0,4]. Bestimmen Sie P(X>=2) und E(X)."

Meine Ideen:
Ich weiß was P(X>=2) und E(X) bedeuten und kann diese auch in Aufgaben (wie z.B. Experimente mit Würfeln) berechnen. Mir ist allerdings nicht klar wie man hier vorgehen soll. Oder was die Dichtefunktion eigentlich genau darstellen soll.

09.02.2021, 14:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von student1978
Ich weiß was P(X>=2) und E(X) bedeuten und kann diese auch in Aufgaben (wie z.B. Experimente mit Würfeln) berechnen.

Letzteres sind Beispiele diskreter Zufallsgrößen - hier jetzt geht es um eine stetige Zufallsgröße, wo andere Berechnungsformeln anzuwenden sind. Irgendwie scheinst du das noch nicht richtig realisiert zu haben? verwirrt

verwirrt

Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ und Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ stetiger Zufallsgrößen hängen über

$\begin{eqnarray*} F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

zusammen. Damit kannst du aus deinem gegebenen $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ bestimmen, und via $\begin{eqnarray*} F_X(x) = P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ dann auch diverse Wahrscheinlichkeiten bestimmen, wie etwa auch $\begin{eqnarray*} P(X\geq 2) \stackrel{!}{=} P(X>2) = 1-P(X\leq 2) = 1-F_X(2) \end{eqnarray*}$ . (Gleichheit $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ gilt, weil stetige Zufallsgrößen Einzelwerte nur mit Wahrscheinlichkeit 0 annehmen.)

Wie der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ einer stetigen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bei gegebener Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ berechnet werden kann, solltest du deinen Unterlagen entnehmen können.

Zu erwähnen wäre noch: Der Wertebereich $\begin{eqnarray*} [0,4] \end{eqnarray*}$ der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist so zu lesen, dass außerhalb dieses Intervalls die Dichte $\begin{eqnarray*} f_X(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist, während sie innerhalb dieses Intervalls wie gegeben $\begin{eqnarray*} f_X(x)=p(x) = \frac{1}{8}\cdot x \end{eqnarray*}$ ist.

10.02.2021, 12:45

student1978

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@HAL 9000

Aber es ist doch gar kein f(x) gegeben? Irgendwie verstehe ich das immer noch nicht so richtig. Meinst du du könntest die Lösung einmal angeben? Durch ein Beispiel verstehe ich es immer besser und kann dann auch die Vorgehensweise leichter nachvollziehen.

10.02.2021, 12:58

Steffen Bühler

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Doch, da steht $\begin{eqnarray*} p(x)=\frac 18 \cdot x \end{eqnarray*}$ .

So sieht die Dichte also aus:

Die Fläche ist natürlich Eins. Wieviel Fläche ist zwischen 2<x<4? Wie lautet die Formel für den Erwartungswert?

10.02.2021, 13:09

HAL 9000

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Das war jetzt (ungeplant) der Test, ob du bis zum Ende gelesen hast:

Zitat:

Original von HAL 9000
Zu erwähnen wäre noch: Der Wertebereich $\begin{eqnarray*} [0,4] \end{eqnarray*}$ der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist so zu lesen, dass außerhalb dieses Intervalls die Dichte $\begin{eqnarray*} f_X(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist, während sie innerhalb dieses Intervalls wie gegeben $\begin{eqnarray*} f_X(x)=p(x) = \frac{1}{8}\cdot x \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von student1978
Aber es ist doch gar kein f(x) gegeben?

Anscheinend nicht. unglücklich

unglücklich

10.02.2021, 13:23

student1978

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@Steffen Bühler

Die Formel für den Erwartungswert ist laut meiner Notizen diese hier (siehe Bild). Jedoch verstehe ich noch nicht genau wie man diesen hier berechnen soll. Ich kann die Formel auf gewöhnliche Experimente wie z.B. mit Würfeln verwenden, aber hier bin ich etwas verwirrt.

@HAL 9000

Entschuldige ich verstehe nicht so genau was du damit meinst...

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10.02.2021, 13:29

Dopap

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doch die Dichtefunktion ist angegeben, nur wird diese mMn etwas unglücklich mit $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

$\begin{eqnarray*} f_X(x):=\frac18x \quad x\in [0,4] ; 0 \,\,sonst \end{eqnarray*}$

ist das überhaupt eine Dichte für die bekanntermaßen

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty f_X(x)\,\dd x = 1 \end{eqnarray*}$ gelten muss?

EDIT: schon reichlich post eingegangen, lasse es trotzdem mal stehen

10.02.2021, 13:34

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von student1978
Die Formel für den Erwartungswert ist laut meiner Notizen diese hier (siehe Bild).

Die ist für diskrete Werte in Ordnung, hier hast Du eine kontinuierliche Dichtefunktion, da kannst Du das Summenzeichen durch das Integral ersetzen. Und, wie gesagt, die Wahrscheinlichkeiten entsprechen der Fläche unter der Dichtefunktion.

Mach doch mal.

10.02.2021, 13:41

student1978

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@Steffen Bühler

Wäre das so korrekt (siehe Bild)?

10.02.2021, 13:44

Steffen Bühler

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Eigentlich wollte ich mich gar nicht hier reindrängen, weil HAL ja schon hilft. Aber als Antwort: ja, das ist korrekt.

Du könntest es auch geometrisch mit Rechtecken und Dreiecken berechnen, wenn Du mit Integralen auf dem Kriegsfuß stehst. Ansonsten schau Dir doch mal unseren Formeleditor an.

10.02.2021, 13:45

student1978

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@Dopap

Ich denke es muss nicht von -unendlich nach unendlich gehen, sondern nur von 0 bis 4 da diese Werte als Intervall angegeben sind oder?

10.02.2021, 13:49

student1978

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@Steffen Bühler

Vielen Dank für die Erklärungen! Das hat mir wirklich sehr geholfen!

Nur noch eine klitzekleine Frage: Wie würde man denn hier E(X) berechnen? Bei endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen haben wir uns immer mit Tabellen geholfen, in etwa so (siehe Bild). Hier geht das denke ich nicht oder?

10.02.2021, 13:54

Steffen Bühler

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Wie gesagt, mit dem Integral: $\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ .

Grafisch ist das die x-Koordinate des Flächenschwerpunkts. Siehe z.B. Wiki.

10.02.2021, 13:58

student1978

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@Steffen Bühler

Okay, mein Problem ist nur dass das Integral ja so berechnet wird (siehe Bild). Wenn a und b aber hier -unendlich und unendlich sind, wie soll man das denn einsetzen und ausrechnen?

10.02.2021, 14:00

HAL 9000

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Vielleicht liegen die Ausfälle ja an der Pandemie, aber ich habe langsam den Eindruck, als müssen wir hier den kompletten Vorlesungsteil zu stetigen Zufallsgrößen leisten...

Erwartungswert ist $\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , so denn dieses uneigentliche Integral existiert.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Eigentlich wollte ich mich gar nicht hier reindrängen, weil HAL ja schon hilft.

Da ich keine Lust habe, die Vorlesung hier alleine komplett zu halten, sind andere Helfer jederzeit herzlich willkommen.

Zitat:

Original von student1978
Wenn a und b aber hier -unendlich und unendlich sind, wie soll man das denn einsetzen und ausrechnen?

Die nächste dicke Wissenslücke, jetzt aber in der Analysis: Uneigentliche Integrale.

Das binde ich mir hier jetzt aber nicht ans Bein, hier nur soviel: Ist die Dichtefunktion außerhalb eines endlichen Intervalls gleich 0 (wie hier im Beispiel mit a=0 und b=8 ja auch), dann ist einfach

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\cdot f_X(x) ~ \dd x = \int\limits_a^b g(x)\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Damit kommt man aber nicht überall durch, viele stetige Verteilungen sind nicht nur auf endlichen Intervallen konzentriert, z.B. Normal- oder Exponentialverteilungen. Daher solltest du das mit den Uneigentliche Integralen dringend nachholen.

10.02.2021, 14:01

Steffen Bühler

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Haben doch die beiden Kollegen schon beantwortet: die Funktion hat unterhalb 0 und oberhalb 4 den Wert Null. Das reduziert die Integralgrenzen erheblich... Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.02.2021, 14:25

student1978

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@Steffen Bühler

Ach ja ups. Ich sehe so langsam den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Also so wäre es dann richtig (siehe Bild)?

10.02.2021, 14:26

Steffen Bühler

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Korrekt. (Hab ich das mit dem Formeleditor schon erwähnt?)

11.02.2021, 11:35

student1978

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@Steffen Bühler

Das mit dem Formeleditor tut mir leid, ich schaue mir das einmal an wenn ich nicht unter Prüfungsstress bin.

Noch einige Sachen zum Klarstellen:

1) Soweit ich das verstanden habe, ist die Dichte ja eine Fläche. Wenn da jetzt so etwas stehen würde wie P(X=2), dann würde man das mit einem Integral nicht lösen können, da ein Integral von 2 nach 2 ja immer 0 wird. Man kann P(X=2) in dem Fall also gar nicht berechnen oder?

2) Ich weiß jetzt wie man E(X) hier berechnet. Wie würde man denn die Varianz hier berechnen, das war bei den endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen auch ein Thema? Wir haben diese Formel hier benutzt: Var(X) = E(X-E(X))^2.

3) Die Standardabweichung ist einfach nur die Wurzel von der Varianz also wird das wohl so bleiben müssen.

11.02.2021, 11:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von student1978
Man kann P(X=2) in dem Fall also gar nicht berechnen oder?

Doch, es kommt nur eben Wert 0 heraus - wie immer bei Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(X=a) \end{eqnarray*}$ für stetige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

11.02.2021, 11:59

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von student1978
Wie würde man denn die Varianz hier berechnen, das war bei den endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen auch ein Thema?

Entsprechendes gilt auch hier: $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mathbb{E}[X])^2 f(x) \, \mathrm{d}x\quad \end{eqnarray*}$ , siehe wieder Wiki.

Viele Grüße
Steffen

11.02.2021, 12:48

HAL 9000

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Wie man allgemein $\begin{eqnarray*} E(h(X)) \end{eqnarray*}$ sowohl für diskrete als auch stetige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ berechnet, hatte ich hier mal zusammengefasst. Das trifft natürlich speziell auch für die bei der Varianz anzutreffende Funktion $\begin{eqnarray*} h(t) = (t-\mu)^2 \end{eqnarray*}$ zu (mit $\begin{eqnarray*} \mu:=E(X) \end{eqnarray*}$ ).

11.02.2021, 13:15

student1978

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@HAL 9000 @Steffen Bühler

Vielen Dank für eure Antworten, die haben mir echt weitergeholfen!

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