Konvergenz eines Logarithmus und Ungleichung

Neue Frage »

GreenArrow98 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz eines Logarithmus und Ungleichung
Meine Frage:
Hi, ich schreibe aktuell an einer Hausarbeit und komme in einem Beweis leider an zwei Punkten nicht weiter: Für alle ist und . Es gilt und für ein .
Es handelt sich um den Beweis von Proposition 1.4 aus dem Buch Lectures on the Poisson Process, falls sich jemand den Beweis auf Google anschauen möchte.

Meine Ideen:
1. Es soll gezeigt werden, dass gilt. Der Beweis in der Literatur sieht wie folgt aus: , wobei für die Funktion gilt. Warum die rechte Seite der Gleichung konvergiert ist mir klar, allerdings verstehe ich nicht, woher die Gleichung und die Funktion kommt. Hat da jemand eine Idee oder einen anderen Lösungsansatz?
2. Das zweite Problem in dem Beweis ist eine Ungleichung: , wobei die Summe auf der linken Seite bedeuten soll, dass über alle -Tupel mit paarweise verschiedenen Elementen summiert wird. Hier habe ich leider überhaupt keinen Ansatz.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit ist ein spezielles Landau-Symbol gemeint. Ohne Kenntnis dessen ist dieser Beweisteil natürlich kaum verständlich.

2. ist schon ein dicker Brocken, was das Verständnis betrifft: Ausmultipliziert ist , d.h. OHNE die Bedingung, dass die Indizes rechts paarweise verschieden sein müssen.

Damit gilt für die Differenz



wobei die Menge aller -Indextupel aus , wo mindestens zwei Einträge einander gleich sind.

Nun basteln wir uns weitere Indexmengen: .

Mit denen ist , auch wenn diese Vereinigung nicht disjunkt ist. Da alle Summanden nichtnegatitv sind, kann man abschätzen

.

Ja, das muss man wohl erstmal sacken lassen - mach dir nichts draus, wenn das eine Weile dauert. Vielleicht machst du dir das auch für kleine Werte von und mal klar. was hier passiert.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechenregeln des Logarithmus und die Taylorreihe von zu kennen, schadet auch nichts
GreenArrow98 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe, der Tipp mit der Taylorreihe hat auf jeden Fall geholfen. Beim 2. Teil ist mir zwar noch nicht jeder Schritt klar, aber die Idee kann ich auf jeden Fall nachvollziehen
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »