Grenzwert Folgen

11.02.2021, 08:53

Enrico21

Grenzwert Folgen

Meine Frage:
Hallo,

es geht um die Aufgabe die ich als Bild angehangen habe.

Meine Ideen:
Die Aufgaben ähneln der Bernoulli Ungleichung, sodass man diese hier vielleicht anwenden soll, aber leider weiß ich nicht wie.

Mein Ansatz:

Der jeweils rechte Term in den Klammern besteht immer aus 1/n bzw. 1/n * Wurzel n. Für große n wird dieser Term gegen 0 konvergieren.

1+- 0 = 1, 1^n = 1

Ist das hier falsch?

11.02.2021, 09:24

G110221

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RE: Grenzwert Folgen
Verwende:
a)
(1+1/n)^(n+k) = (1+1/n)^n*(1+1/n)^k

b) 1/(n*n^0.5) geht gegen 0 für n gegen oo.

c) (1+1/n)^(2n)= ((1+1/n)^n))^2

11.02.2021, 10:19

Enrico21

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RE: Grenzwert Folgen
Und dann?

Weil bei a) dann 1+1/n^n steht kann ich sagen, dass es gegen 0 geht? verwirrt

11.02.2021, 10:29

Leopold

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Alle Folgen in a), b), c) sind mit der klassischen Folge, die die Eulersche Zahl e definiert, in Zusammenhang. Du solltest dich daher auf diesen Zusammenhang konzentrieren und durch geschickte Umformungen Folgerungen daraus ziehen.

In a) ist wichtig: $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ . Deswegen ist $\begin{align*} k \end{align*}$ bezüglich dieses Grenzprozesses wie eine Konstante aufzufassen, zum Beispiel $\begin{align*} k = 2021 \end{align*}$ . Die von G110221 vorgeschlagene Umformung sähe in diesem Beispiel so aus:

$\begin{align*} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+2021} = \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}_{\to \ \text{?} \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty} \cdot \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2021}}_{\to \ \text{?} \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty} \end{align*}$

Wie verhalten sich die beiden Faktoren für $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ ?

11.02.2021, 11:09

HAL 9000

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Wobei man bei b) die $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ -Definition bzw. -Eigenschaft nicht zwingend benötigt, da reicht tatsächlich auch die Bernoulli-Ungleichung: Mit der gilt

$\begin{eqnarray*} 1\geq \left(1-\frac{1}{n\sqrt{n}}\right)^n \geq 1-n\cdot \frac{1}{n\sqrt{n}} = 1-\frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

und dann per Sandwich die Konvergenz gegen 1 für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

11.02.2021, 17:07

grenzfall

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Zitat:

b) 1/(n*n^0.5) geht gegen 0 für n gegen oo.

Inwiefern hilft das denn bei b) ? verwirrt

Zitat:

und dann per Sandwich die Konvergenz gegen 1

Wäre auch mein Gedanke gewesen.
Einen anderen Zugang zu dem Grenzwert hätte ich nicht gehabt.

12.02.2021, 17:01

Enrico21

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@Leopold

zu a) Beide Faktoren werden gegen 1 konvergieren, aber das sehe ich doch auch schon ohne das "auseinanderziehen"?
wenn 1 + 1/n gegen 1 konvergiert, ist doch "egal" was in der Potenz steht.

13.02.2021, 08:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Enrico21
wenn 1 + 1/n gegen 1 konvergiert, ist doch "egal" was in der Potenz steht.

Das stimmt, sofern der Exponent konstant ist, d.h., nicht von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängt.

Andernfalls stimmt das i.a. nicht. Vielleicht denkst du dann doch mal richtig über das hier nach:

Zitat:

Original von Leopold
Alle Folgen in a), b), c) sind mit der klassischen Folge, die die Eulersche Zahl e definiert, in Zusammenhang.

Gemeint ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e \end{eqnarray*}$ .

13.02.2021, 09:48

Leopold

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Im mündlichen Abitur in Baden-Württemberg besteht der erste Teil aus einem Referat des Schülers, der zuvor zwanzig Minuten Zeit hatte, sich auf ihm schriftlich vorgelegte Fragen vorzubereiten. Der zweite Teil ist eine freie Prüfung.
Für den ersten Teil habe ich als letzte Teilaufgabe gelegentlich schon das Folgende gefragt (es geht da um Schüler im Einserbereich):

Bekanntlich gilt $\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \operatorname{e} = 2{,}718281828459 \ldots \end{align*}$
Jemand argumentiert: "Das kann nicht sein. Für $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ strebt der Bruch gegen 0, die Summe in der Klammer also gegen 1. Nun ist aber $\begin{align*} 1^n = 1 \end{align*}$ für jedes $\begin{align*} n \end{align*}$ . Für $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ strebt der Term damit gegen 1."
Welcher Denkfehler wird bei dieser Argumentation gemacht. Was übersieht, wer so argumentiert?

Dabei erwarte ich keine Rechnungen mit irgendwelchen Abschätzungen, sondern eine "anschauliche" Beschreibung des Phänomens. Alle unbestimmten Ausdrücke wie $\begin{align*} \frac{\infty}{\infty} \end{align*}$ oder $\begin{align*} \frac{0}{0} \end{align*}$ , oder hier $\begin{align*} 1^{\infty} \end{align*}$ , tragen diesen Kampf "Wer setzt sich durch?" in sich. Exemplarisch gehe ich immer wieder mal im Unterricht auf dieses Phänomen ein, so auch im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl. Manchmal sage ich etwas frivol: Eigentlich beschäftigt sich die Differentialrechnung die ganze Zeit mit der Frage "Was ist 0 durch 0?" Und sie bekommt einfach kein eindeutiges Ergebnis heraus!

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