Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge |
11.02.2021, 10:37 | Ruugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge Sei gegeben durch für für . a) Sei stetig. Zeigen Sie, dass die Funktion gegeben durch für zweimal stetig differenzierbar ist mit auf , . b) Zeigen Sie, dass durch für und eine Folge stetiger Funktionen auf definiert wird, die auf gleichmäßig gegen eine zweimal stetig differenzierbare Funktion konvergiert mit auf ; . Meine Ideen: Aufgabenteil a) habe ich selbst hinbekommen (indem ich das Integral in zwei Teilstücke auseinandergezogen, dann partiell integriert und am Ende zweimal abgeleitet habe). Mein Problem bezieht sich auf b). Ich habe keine Ahnung, wie ich hier gleichmäßige Konvergenz nachweisen soll. Natürlich kenne ich die Definition von gleichmäßiger Konvergenz, aber wie soll ich die hier nachrechnen? Über u bzw. die einzelnen Folgenglieder weiß ich ja explizit erstmal nicht viel. Analog zu a) folgt ja, dass . Dies scheint mir bei der gleichmäßigen Konvergenz aber nicht weiterzuhelfen. Sorry, ich weiß das ist viel Text mit wenigen eigenen Ideen, aber vielleicht könnte mir hier trotzdem jemand weiterhelfen? |
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12.02.2021, 22:54 | Ruugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge Hallo, es hat leider noch niemand geantwortet, ich weiß jetzt natürlich nicht woran es liegt... Ich möchte nur dazusagen, dass ich nicht unbedingt eine volle Lösung brauche, sondern auch schon die Idee oder eine "Anleitung" zum alleine weitermachen toll wären. |
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13.02.2021, 09:43 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge Hallo Ruugu. Ich denke nicht, dass du irgendetwas falsch gemacht hast. Ich habe eine Weile drüber nachgedacht und selbst nicht gesehen wie man es zeigen kann. Ein paar Ideen, welche ich hatte: Durch mit reicht es vermutlich die punktweise Konvergenz zu zeigen, um anschließend die gleichmäßige Konvergenz zu folgern. Andere Beboachtung: Der "übliche" Trick wäre zu betrachten. D.h. die Differenz des und Gliedes wird klein, wenn die vorigen Glieder nah beiandner sind. Man bräuchte jetzt einen geschickten Induktionsanfang, so dass man die Eigenscahft vom Cosinus nutzen kann um zu zeigen dass es noch kleiner wird und für schließlich gegen 0 konvergiert. Edit: Was gilt ist natürlich . Und damit . Mit viel Glück ist immer kleiner als 1 und damit hat sichs erledigt. Ansonsten muss man sich noch mehr Mühe geben. |
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13.02.2021, 11:33 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
In der Tat ist . |
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13.02.2021, 13:23 | Ruugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge Hallo, danke für eure Antworten!! Ich habe aber noch ein paar Fragen dazu:
Hier verstehe ich bei der ersten Abschätzung nicht ganz, warum man im Integral jeweils den Kosinus "weglassen" darf? Natürlich ist , aber wieso darf ich diese Differenz so abschätzen...? Kann man so argumentieren, dass die Steigung der Kosinusfunktion ja betragsmäßig überall kleiner/gleich 1 ist, und deine Abschätzung daraus folgt?
Diese Abschätzung kann ich leider gar nicht nachvollziehen... Könntest du erklären, wie du darauf kommst? @ HAL 9000: Ich erkenne zwar, dass G nach oben durch 0 beschränkt ist und dass G auf [0,1] betragsmäßig auf jeden Fall kleiner als 1 sein muss, aber trotzdem würde ich gerne wissen, wie kommst du auf die ? Außerdem fürchte ich, dass ich die ganze Beweisidee noch nicht erfasst habe. Wenn ich weiß, dass der Abstand zwischen zwei Folgengliedern gegen 0 konvergiert, folgt daraus schon die gleichmäßige Konvergenz? |
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13.02.2021, 13:38 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ok, für alle sollte klar sein. Für ist . Für ist . Wir suchen somit das Maximum der Funktion auf ... |
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13.02.2021, 13:44 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge
Hier wende ich iterativ die Abschätzung an. Per Abschätzung haben wir . Noch einmal ergibt . Wendet man es insgesamt mal, kommt man auf die Ungleichung.
HAL kann es sicher schöner argumentieren, aber es sollte genügen die Monotonie der Faktoren zu erkennen und dann per Monotonie zu argumentieren. Z.B. für gilt . Das ist in dann maximal .
Wenn der Abstand schnell genug gegen 0 konvergiert, gilt es. Wenn du es sauber aufschreibst, hast du in der Supremumsnorm, wobei und ist. Daraus kann man dann folgern, dass eine Cauchy-Folge in ist. (Tipp: ). Nun konvergieren Cauchy-Folgen und damit hat man nun die Konvergenz. |
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13.02.2021, 15:29 | Ruugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge Danke IfindU für die Erklärungen, und auch HAL 9000! Damit habe ich alles verstanden, und den Schluss bekomme ich mit deinem Tipp auch hin. Aber allein wäre ich nicht drauf gekommen, und in einer Prüfung erst recht nicht. Merken werde ich mir auf jeden Fall die Abschätzung mit dem Kosinus, und dass man mit dem Abstand zweier Folgenglieder über die Cauchy-Folge auf gleichmäßige Konvergenz kommt. |
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