Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge

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Ruugu Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge
Meine Frage:
Sei gegeben durch
für
für .

a) Sei stetig. Zeigen Sie, dass die Funktion gegeben durch
für
zweimal stetig differenzierbar ist mit auf , .

b) Zeigen Sie, dass durch
für und
eine Folge stetiger Funktionen auf definiert wird, die auf gleichmäßig gegen eine zweimal stetig differenzierbare Funktion konvergiert mit
auf ; .

Meine Ideen:
Aufgabenteil a) habe ich selbst hinbekommen (indem ich das Integral in zwei Teilstücke auseinandergezogen, dann partiell integriert und am Ende zweimal abgeleitet habe).

Mein Problem bezieht sich auf b). Ich habe keine Ahnung, wie ich hier gleichmäßige Konvergenz nachweisen soll. Natürlich kenne ich die Definition von gleichmäßiger Konvergenz, aber wie soll ich die hier nachrechnen? Über u bzw. die einzelnen Folgenglieder weiß ich ja explizit erstmal nicht viel.
Analog zu a) folgt ja, dass . Dies scheint mir bei der gleichmäßigen Konvergenz aber nicht weiterzuhelfen.

Sorry, ich weiß das ist viel Text mit wenigen eigenen Ideen, aber vielleicht könnte mir hier trotzdem jemand weiterhelfen?
Ruugu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge
Hallo, es hat leider noch niemand geantwortet, ich weiß jetzt natürlich nicht woran es liegt... Ich möchte nur dazusagen, dass ich nicht unbedingt eine volle Lösung brauche, sondern auch schon die Idee oder eine "Anleitung" zum alleine weitermachen toll wären.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge
Hallo Ruugu.

Ich denke nicht, dass du irgendetwas falsch gemacht hast. Ich habe eine Weile drüber nachgedacht und selbst nicht gesehen wie man es zeigen kann.

Ein paar Ideen, welche ich hatte: Durch mit reicht es vermutlich die punktweise Konvergenz zu zeigen, um anschließend die gleichmäßige Konvergenz zu folgern.

Andere Beboachtung:
Der "übliche" Trick wäre zu betrachten. D.h. die Differenz des und Gliedes wird klein, wenn die vorigen Glieder nah beiandner sind. Man bräuchte jetzt einen geschickten Induktionsanfang, so dass man die Eigenscahft vom Cosinus nutzen kann um zu zeigen dass es noch kleiner wird und für schließlich gegen 0 konvergiert.

Edit: Was gilt ist natürlich .

Und damit . Mit viel Glück ist immer kleiner als 1 und damit hat sichs erledigt. Ansonsten muss man sich noch mehr Mühe geben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Mit viel Glück ist immer kleiner als 1 und damit hat sichs erledigt.

In der Tat ist .
Ruugu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge
Hallo, danke für eure Antworten!! Ich habe aber noch ein paar Fragen dazu:


Zitat:
Original von IfindU

Edit: Was gilt ist natürlich .



Hier verstehe ich bei der ersten Abschätzung nicht ganz, warum man im Integral jeweils den Kosinus "weglassen" darf? Natürlich ist , aber wieso darf ich diese Differenz so abschätzen...? Kann man so argumentieren, dass die Steigung der Kosinusfunktion ja betragsmäßig überall kleiner/gleich 1 ist, und deine Abschätzung daraus folgt?

Zitat:
Original von IfindU
Und damit . Mit viel Glück ist immer kleiner als 1 und damit hat sichs erledigt. Ansonsten muss man sich noch mehr Mühe geben.


Diese Abschätzung kann ich leider gar nicht nachvollziehen... Könntest du erklären, wie du darauf kommst?

@ HAL 9000: Ich erkenne zwar, dass G nach oben durch 0 beschränkt ist und dass G auf [0,1] betragsmäßig auf jeden Fall kleiner als 1 sein muss, aber trotzdem würde ich gerne wissen, wie kommst du auf die ?

Außerdem fürchte ich, dass ich die ganze Beweisidee noch nicht erfasst habe. Wenn ich weiß, dass der Abstand zwischen zwei Folgengliedern gegen 0 konvergiert, folgt daraus schon die gleichmäßige Konvergenz?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ruugu
@ HAL 9000: Ich erkenne zwar, dass G nach oben durch 0 beschränkt ist und dass G auf [0,1] betragsmäßig auf jeden Fall kleiner als 1 sein muss, aber trotzdem würde ich gerne wissen, wie kommst du auf die ?

Ok, für alle sollte klar sein.

Für ist .
Für ist .

Wir suchen somit das Maximum der Funktion auf ...
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge
Zitat:
Original von Ruugu
Zitat:
Original von IfindU
.


Hier verstehe ich bei der ersten Abschätzung nicht ganz, warum man im Integral jeweils den Kosinus "weglassen" darf? Natürlich ist , aber wieso darf ich diese Differenz so abschätzen...? Kann man so argumentieren, dass die Steigung der Kosinusfunktion ja betragsmäßig überall kleiner/gleich 1 ist, und deine Abschätzung daraus folgt?

Das ist genau der Grund. Allgemein gilt für Lipschitz-stetige Funktionen. Bei differenzierbaren Funktion ist es genau der Fall, wenn die Ableitung beschränkt und man kann dann wählen (Direkte Folgerung aus dem Mittelwertsatz). Hier ist und .

Zitat:

Zitat:
Original von IfindU
Und damit . Mit viel Glück ist immer kleiner als 1 und damit hat sichs erledigt. Ansonsten muss man sich noch mehr Mühe geben.


Diese Abschätzung kann ich leider gar nicht nachvollziehen... Könntest du erklären, wie du darauf kommst?


Hier wende ich iterativ die Abschätzung an. Per Abschätzung haben wir . Noch einmal ergibt .

Wendet man es insgesamt mal, kommt man auf die Ungleichung.
Zitat:

@ HAL 9000: Ich erkenne zwar, dass G nach oben durch 0 beschränkt ist und dass G auf [0,1] betragsmäßig auf jeden Fall kleiner als 1 sein muss, aber trotzdem würde ich gerne wissen, wie kommst du auf die ?

HAL kann es sicher schöner argumentieren, aber es sollte genügen die Monotonie der Faktoren zu erkennen und dann per Monotonie zu argumentieren. Z.B. für gilt
. Das ist in dann maximal .


Zitat:

Außerdem fürchte ich, dass ich die ganze Beweisidee noch nicht erfasst habe. Wenn ich weiß, dass der Abstand zwischen zwei Folgengliedern gegen 0 konvergiert, folgt daraus schon die gleichmäßige Konvergenz?

Wenn der Abstand schnell genug gegen 0 konvergiert, gilt es. Wenn du es sauber aufschreibst, hast du in der Supremumsnorm, wobei und ist. Daraus kann man dann folgern, dass eine Cauchy-Folge in ist. (Tipp: ).

Nun konvergieren Cauchy-Folgen und damit hat man nun die Konvergenz.
Ruugu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Integral-Funktionenfolge
Danke IfindU für die Erklärungen, und auch HAL 9000! Damit habe ich alles verstanden, und den Schluss bekomme ich mit deinem Tipp auch hin.
Aber allein wäre ich nicht drauf gekommen, und in einer Prüfung erst recht nicht.
Merken werde ich mir auf jeden Fall die Abschätzung mit dem Kosinus, und dass man mit dem Abstand zweier Folgenglieder über die Cauchy-Folge auf gleichmäßige Konvergenz kommt.
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