Gleichung mit 2 Parametern in N

11.02.2021, 11:09

Luftikus

Gleichung mit 2 Parametern in N

Vorgegeben: $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$
Gesucht: Bedingungen/Einschänkungen für die Lösungen (soweit vorhanden) von n, m. Alles im Bereich der natürlichen Zahlen.

$\begin{eqnarray*} (4 \cdot m +1) \cdot n = (n_0 - m) \end{eqnarray*}$

Sieht hier jemand einen brauchbaren Ansatz für Bedingungen möglicher Lösungen für n, m?

11.02.2021, 11:13

HAL 9000

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Faktorisierungs-Trick
Umgestellt erhält man $\begin{eqnarray*} 4n_0 + 1 = 16mn + 4m + 4n + 1 = (4m+1)\cdot (4n+1) \end{eqnarray*}$ .

D.h., die Primfaktorzerlegung der Zahl $\begin{eqnarray*} 4n_0+1 \end{eqnarray*}$ bestimmt WESENTLICH die Menge der Lösungen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ .

11.02.2021, 11:32

Luftikus

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Das ist interessant, da auch gerade

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot [(4m+1) \cdot n + m]+1 \end{eqnarray*}$ Vielfache der der Zahl $\begin{eqnarray*} 4n+1 \end{eqnarray*}$ sein sollten. (Teilmenge ungerader Vielfacher).
Bedeutet, dass im Lösungsfalle $\begin{eqnarray*} 4n_0+1 \end{eqnarray*}$ davon Vielfaches wäre (für $\begin{eqnarray*} m \neq 0) \end{eqnarray*}$ . Anderenfalls wäre $\begin{eqnarray*} 4n_0+1 \end{eqnarray*}$ selbst eine Primzahl.
Wenn ich das richtig sehe..

11.02.2021, 11:38

HAL 9000

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Die Charakterisierung ALLER Lösungen ist hier doch sehr einfach: Man nimmt von der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} 4n_0+1 \end{eqnarray*}$ ausgehend alle Teiler, in denen die Primfaktoren $\begin{eqnarray*} \equiv 3\bmod 4 \end{eqnarray*}$ in GERADER Anzahl vorkommen, als Kandidaten für $\begin{eqnarray*} 4m+1 \end{eqnarray*}$ , der zugehörige Komplementärteiler (der dann AUTOMATISCH ebenfalls die Primfaktoren $\begin{eqnarray*} \equiv 3\bmod 4 \end{eqnarray*}$ in gerader Anzahl besitzt!) als $\begin{eqnarray*} 4n+1 \end{eqnarray*}$ . Die Auflösung nach $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ sollte keine große Hürde mehr sein.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} n_0 = 146 \end{eqnarray*}$

Da ist $\begin{eqnarray*} 4n_0+1 = 585 = 3^2\cdot 5\cdot 13 \end{eqnarray*}$ . Das ergibt folgende $\begin{eqnarray*} (4m+1,4n+1) \end{eqnarray*}$ -Paare und zugeordnete $\begin{eqnarray*} (m,n) \end{eqnarray*}$ -Lösungen (der Symmetrie wegen zähle ich nur die mit $\begin{eqnarray*} m\leq n \end{eqnarray*}$ auf):

$\begin{eqnarray*} (1,585) \to m=0,n=146 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (5,117) \to m=1,n=29 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (9,65) \to m=2,n=16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (13,45) \to m=3,n=11 \end{eqnarray*}$

11.02.2021, 11:53

Luftikus

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Verstehe. Aber was ist mit einer Zahl $\begin{eqnarray*} 4n_0+1 \end{eqnarray*}$ für sehr grosses $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , die sich nicht so schnell faktorisieren lässt?
Kann man andersherum schnell auf eine Faktorisierung schliessen (durch n,m)?

Okay, dass $\begin{eqnarray*} 4n_0+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ keine Primzahl sein muss (also dass das kein positives Kriterium ist) sehe ich ein. Dazu muss man noch eine Prüfung (auf Vielfachheit) durchführen.

11.02.2021, 12:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Luftikus
Verstehe. Aber was ist mit einer Zahl $\begin{eqnarray*} 4n_0+1 \end{eqnarray*}$ für sehr grosses $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , die sich nicht so schnell faktorisieren lässt?

Pech gehabt. Diese Gleichung bzw. deren Lösung liefert rückwärts betrachtet bestimmt keinen genialen Bypass zur schnelleren Faktorisierung - das hätte wohl schon längst jemand gemerkt. Big Laugh

11.02.2021, 13:42

Luftikus

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Zitat:

Original von HAL 9000
Pech gehabt. Diese Gleichung bzw. deren Lösung liefert rückwärts betrachtet bestimmt keinen genialen Bypass zur schnelleren Faktorisierung - das hätte wohl schon längst jemand gemerkt. Big Laugh

Das ist zwar kein (valides) Argument, aber leider hast du hier Recht.
Ich denke immer noch an ein "kontrahierendes Verfahren", dass sich Zahlen so klassifizieren lassen, dass man Zahlen algorithmisch kategorisieren kann. Aber was man "vertikal" gewinnt, verliert man "horizontal", hoffe, du verstehst. smile

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