Fläche im R3?

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche im R3?
zu einer ebenen geschlossenen schleifenfreien Kurve* wird eine Punktmenge im wiefolgt konstruiert:

Zu je 2 Kurvenpunkten wird dem Mittelpunkt der Verbindungsstrecke senkrecht in der 3. Dimension der halbe Streckenbetrag zugeordnet.

Versuch, das etwas zu präzisieren:
im üblichen (x,y,z) Koordinatensystem sei .



bei einer eiförmigen Kurve erwarte ich eine Art Zuckerhut als Fläche im Raum.
Schön. aber nun allgemeiner:

[attach]52692[/attach]

  • ist das bei voller Allgemeinheit (*) immer eine Fläche?
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fläche im R3?
Wie gehst du denn mit Mehrdeutigkeiten um? Beispielsweise bei einer Ellipse mit unterschiedlichen Halbachsen, welchen Wert bekommt der Schnittpunkt der Halbachsen? Was ist mit einer Kurve, die ein Geradenstück enthält?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, ist mir heute Nacht bei K=Quadrat auch aufgefallen.
z ist keine Funktion eines Kittelpunktes.
Muss dem nochmal nachgehen, falls es wieder auffindbar ist...
Wie schaut es denn mit der selbstgebastellten Zuordnung aus?
Lesbar? schlecht formuliert?...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch bei der riecht es ja ganz schön nach derlei Mehrdeutigkeiten... kann es außerdem sein, dass du nur solche Punktpaare meinst, deren Verbindungsstrecke vollständig (!) in deiner Menge liegen? Das würde zumindest einen Gutteil der Mehrdeutigkeiten bei deiner nichtkonvexen Beispielfigur entfernen. verwirrt
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich,ob man mit damit alle Punkt in der Fläche erreichen kann.
Dass man die Fläche mit den Mittelpunkten sozusagen ausmalen kann
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@xb:

[attach]52693[/attach]

Ich stelle mir vor: sei fix und der läuft auf K herum. Dann bilden die Mittelpunkte eine verzerrte kleinere Kurve M von K.
Oberhalb von M entsteht eine Achterbahnlinie jeweils mit der Höhe
Die Fahrt startet in und endet auch dort im Tiefpunkt.
Differenzielle Verschiebung von nach lassen eine Art Achterbahnband entstehen, das aber eine Fläche hat. ---> Stetigkeit.

@HAL9000:
o.k. Mehrdeutigkeiten sind möglich (Relation) und nicht mehr ein Problem.
Man erhält die Bildmenge der Relation als Menge im
Jetzt stellt sich die Frage ob diese Menge eine 2D-Oberfläche hat.
Aufgrund der Stetigkeit siehe oben würde ich zu Ja tendieren.

Wenn der "löchrige Körper" im Raum eine 2D Oberfläche hat, siehe oben
dann
gibt es (x,y) Stellen wo die Oberfläche sich in einen Punkt hineinschnürt.
Optisch so ähnlich wie wenn bei einer Sanduhr die Mitte zu einem Punkt zugeglüht wurde.
Das ist der Kernpunkt.

Fehlende Konvexität ist mMn kein Thema mehr, außer der uninteressanten Tatsache, dass der Rand einer Projektion in die xy Ebene auch außerhalb von K liegen kann.
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend sind die Überlegungen plausibel gewesen. Man kann von einer glatten Oberfläche ausgehen.

Im Grunde genommen geht es letztlich um den Beweis des eingeschriebenen Rechtecks, nämlich dass es immer 4 Punkte
auf einer solchen Kurve K gibt, die ein Rechteck bilden.
Zu diesem Beweis sind jetzt die zumindest die Grundlagen klar, fehlt mir noch der Aha Effekt. Gefühlt schon recht nahe aber ...

Wenn man die Punkte der Kurve auf das Intervall orientiert transformiert, z.b. mit Parameter
und dasselbe nochmals für Punkte und diese Intervalle in die X-Y Achsen integriert, dann gibt es eine bijekive Zuordnung
vom Punktepaar und einem Punkt des Einheitsquadrates.

Da die Kurve geschlossen ist, sind die Punktmengen aus äquivalent.
Das Quadrat wird zum Hohlzylinder gerollt. Sinngemäß gilt dasselbe für

Deshalb wird der Hohlzylinder noch zum Torus ( Donat ) verbogen. Jeder Punkt darauf entspricht einem Punktepaar .
Jetzt wirds etwas wackelig: Der Torus wird zum Möbius-Band transformiert verwirrt und die Randlinie mittels Projektion in die X-Y Ebene.
Diese muss den Schnittpunkt einer Schleife enthalten.
Dieser Schnittpunkt ist der gemeinsame Mittelpunkt zweier gleichlanger Strecken von 2 Punktepaaren und .

Manche Beweise müssen reifen, Zeit ist nicht so das Problem ...
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