Wurzelausdruck als Potenz schreiben Teil y

12.02.2021, 15:30

Benutzer121

Wurzelausdruck als Potenz schreiben Teil y

Meine Frage:
Hallo den folgenden Term habe ich versucht als Potenz zu schreiben: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[3]{x^{6}y^{10} } }{\sqrt[6]{y^{2} }} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^{6} y^{10} } \cdot y^{-\frac{2}{6} } \end{eqnarray*}$

12.02.2021, 15:37

Leopold

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Bis dahin richtig, aber längst nicht fertig. Zunächst einmal kann man den Bruch $\begin{align*} \frac{2}{6} \end{align*}$ kürzen. Aber wesentlicher ist, daß es vorne noch weitergeht. Ich beginne einmal:

$\begin{align*} \sqrt[3]{x^6 y^{10}} \cdot y^{-\frac{1}{3}} = \left( x^6 y^{10} \right)^{\frac{1}{3}} \cdot y^{- \frac{1}{3}} \end{align*}$

Und die nächsten Schritte?

12.02.2021, 16:26

Benutzer121

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Kann ich da überhaupt noch was verändern?

12.02.2021, 17:09

mYthos

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Da Leopold nicht ON ist, gebe ich mal einen Tip:
Potenziere die Klammer aus, dann kannst du die y zusammenfassen und die Exponenten kürzen.

12.02.2021, 19:26

Benutzer121

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wie wende ich diesen Tip an?
LG

12.02.2021, 20:08

HaddiV

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Zitat:

Original von Benutzer121
wie wende ich diesen Tip an?
LG

Zieh den Exponenten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ in die Klammer, dh danach sollte die Klammer weg sein. Danach kannst Du noch die y zusammenfassen.

Grüezi

12.02.2021, 20:12

mYthos

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In der Klammer wird jeder Exponent mit 1/3 multipliziert.
Potenzregel: Das Potenzieren von Potenzen geschieht mittels Multiplikation der Exponenten.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} (a^2)^3 = a^6 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (y^{10})^{\frac 1 5} = y^2 \end{eqnarray*}$

12.02.2021, 20:34

Benutzer121

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so? $\begin{eqnarray*} x^{2}y^{\frac{10}{3} }y^{-\frac{1}{3} } = x^{2} y^{3} \end{eqnarray*}$

12.02.2021, 20:39

mYthos

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Ja, so ist es richtig! Sehr gut! Setzen! Lehrer

Jetzt hat's 'klick' gemacht bei dir, fein.

mY+

12.02.2021, 21:54

HAL 9000

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Da wir soweit sind: Gab es irgendwelche Voraussetzungen an $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ? Etwa, dass es positive Zahlen sein sollen?

Wenn wir nämlich vom maximalen reellen Definitionsbereich ausgehen, für den der Term $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[3]{x^{6}y^{10}}}{\sqrt[6]{y^{2}}} \end{eqnarray*}$ definiert ist, dann muss lediglich $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen werden. Für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[3]{x^{6}y^{10}}}{\sqrt[6]{y^{2}}}=x^2y^3 \end{eqnarray*}$ aber nicht richtig - Beispiel $\begin{eqnarray*} x=1,y=-1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

12.02.2021, 22:29

mYthos

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Wir sind hier im Schulbereich. Bei allgemeinen Potenzen ist dort von positiven Basen ungleich Null auszugehen, falls die Exponenten beliebige rationale Zahlen sind.

mY+

12.02.2021, 22:42

HAL 9000

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Wahrscheinlich - aber nicht sicher. Daher meine Nachfrage. Und in meiner Schulzeit gab es durchaus schon mal Gleichungen mit Potenzen von negativen Basen. Augenzwinkern

12.02.2021, 23:19

mYthos

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Ja, nämlich dann, wenn die Hochzahlen ganzzahlig sind oder es sich um ungeradzahlige Wurzeln handelt.
Z. B. $\begin{eqnarray*} x = (-8)^{\frac 1 3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (-4)^x = -64 \end{eqnarray*}$ , ...

Das sind natürlich spezielle Fälle, die jedoch für Variablen in allgemeinen Termen auszuschließen sind.

So sind einfache Terme, wie $\begin{eqnarray*} (-2)^{1.5} \end{eqnarray*}$ schon nicht mehr reell.

mY+

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