Notation der allgemeinen Sinusfunktion b oder 1/b

12.02.2021, 20:28	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Notation der allgemeinen Sinusfunktion b oder 1/b Meine Frage: Hallo zusammen, nachdem es bei meinen SuS immer wieder zur Verwirrung kommt bei der allgemeinen Sinusfunktion habe ich mich auch nochmals versucht damit zu beschäftigen und möchte meine Gedanken hier teilen, bzw. ein paar Fragen stellen. Mir geht es um zwei mögliche Notationen der allgemeinen Sinusfunktion. Variante 1: Bei Variante 1 komme ich von den geometrischen Operationen her zur allgemeinen Sinusfunktion. Spiegelungen lasse ich für den Moment bei Seite, spielen für die eigentliche Problematik, um die es mir geht auch keine Rolle. Ich habe dann als geometrische Operationen: Streckung in y-Richtung mit Faktor a Streckung in x-Richtung mit Faktor b Verschiebung in x-Richtung um c LE (li/re je nach Vorzeichen) Verschiebung in y-Richtung um d LE (hoch/runter je nach Vorzeichen) Ich würde intuitiv, wenn ich von den geomtrischen Operationen her gedacht die Situation betrachte, nicht auf die Idee kommen, einen der Faktoren direkt als Kehrwert zu betrachten, das wäre erst Mal sehr sperrig. Nachrechnen liefert mir aber, dass die einzelnen Operationen in der Funktionsgleichung zu folgenden Anpassungen führen: $\begin{eqnarray} f(x)=a\cdot \sin(\frac{1}{b}\cdot(x-c)) +d \end{eqnarray}$ insbesondere steht dann in der Formel für die Streckung in x-Richtung eben $\begin{eqnarray} \frac{1}{b} \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ Wenn ich nun beispielsweise die Periode ausrechnen möchte, und mir klar ist, dass die Periode eine größe ist, die durch die Streckung in x-Richtung mit dem Faktor $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ebenfalls um den Faktor b gestreckt wurde, dann ist auch schnell klar, dass die neue Periode der Gleichung $\begin{eqnarray} p_{neu} = b \cdot p_{alt} = b \cdot 2 \pi \end{eqnarray}$ genügt. Genau an dieser Stelle fängt es aber nun an verwirrend zu wirken, wenn man diese Betrachtungsweise so wählt (welche für mich, wenn ich von den Operationen her komme, aber die natürliche ist). Denn in "jeder" Formelsammlung steht natürlich als Formel für die Periode $\begin{eqnarray} p = \frac{2\pi}{b} = \frac{1}{b} \cdot 2 \pi \end{eqnarray}$ . Jedoch muss beim anwenden dieser zweiten Formel ja beachtet werden, dass dann von der Funktion in der Form $\begin{eqnarray} f(x) = a\cdot \sin(b(x-c))+d \end{eqnarray}$ ausgegangen wird, was mich nun zur Variante zwei bringt. Variante 2: Bei Variante zwei komme ich von der Funktionsgleichung aus und möchte, in der Definition der Funktionsgleichung "schöne" Variablen bzw. eine "schöne" Form haben. Ich versuche daher in der Definition Kehrwerte zu vermeiden und notiere die Form: $\begin{eqnarray} f(x)=a \sin(b(x-c))+d \end{eqnarray}$ muss dann aber beachten, dass $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ nicht die Streckung in x-Richtung darstellt, sondern der Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{b} \end{eqnarray}$ der Faktor ist, mit dem in x-Richtung gestreckt wurde. Der Gedanke: $\begin{eqnarray} p_{neu} = \text{Streckfaktor} \cdot p_{alt} \end{eqnarray}$ bringt mich dann natürlich zu der Formel, aus den Formelsammlungen: $\begin{eqnarray} p = \frac{1}{b} \cdot 2\pi \end{eqnarray}$ . Eigentlich weiß ich gar nicht, was ich jetzt genau fragen möchte. Im Grunde geht es mir darum, ob der Gedanke mit den zwei Varianten so grundsätzlich stimmt, bzw. warum man die allgemeine Sinusfunktion nicht in der Variante $\begin{eqnarray} \frac{1}{b} \end{eqnarray}$ notiert. In meinem Unterricht ist der Verlauf über das Jahr in der Regel so, dass die geometrischen Operationen bereits zu einem früheren Zeitpunkt, nämlich bei den Potenzfunktionen $\begin{eqnarray} f(x)=ax^k \end{eqnarray}$ behandelt werden. Hierbei kommt man dann auf die Form: $\begin{eqnarray} g(x)= a\cdot (\frac{1}{b}\cdot(x-c))^k+d \end{eqnarray}$ , wenn man wieder von den Operationen her die Sache aufzieht und anfängt eine allgemeine Potenzfunktion zu verändern. Wenn diese Form vorliegt (so ein möglicher Merksatz) können die Operationen abgelesen werden. später kommt dann die allgemeine Sinusfunktion, die ja "definiert" wird und da ist die Form mit den "schönen" Paramtern vorgegeben und wir entdecken die Operationen wieder darin. Also Fazit: Verstehe ich da grundsätzlich was falsch oder kann ich den Knoten in meinem Kopf mit diesen zwei mögichen Varianten lösen? Variante 1: Entwickelt aus einem Unterrichtsgeschehen Variante 2: Defintion einer Funktionsklasse im übrigen spielt es dann im Verlauf kaum noch eine Rolle, da es den SuS dann nicht mehr schwer fällt die korrekte Periode in konkreten Aufgaben zu bestimmen, zu Beginn fällt das aber natürlich auf, dass dort b und nicht 1/b in der Gleichung steht. Meine Ideen: Vielen Dank für die Möglichkeit hier seine Gedanken zu teilen Viele Grüße Stevie EDIT: wenn ich so das Netz durchforste, dann scheint sich auch kaum jemand allgemein Gedanken darüber zu machen, wie groß denn der "tatsächliche Streckfaktor" ist. Man liest ja immer nur Formulierungen der Form: "b bewirkt eine Streckung in x-Richtung" ein tieferes Verständnis wird meiner Ansicht dadurch nicht gewonnen... eine zuerst sprachliche Formulierung der Form: Streckung in x-Richtung mit dem Faktor b: sprachlich: "Jeder x-Wert wird mit dem Faktor b multipliziert" und eine darauffolgende Herleitung der Formeln über die Graphenmenge wie hier (Streckung in x-Richtung) von Leopold gezeigt (nochmals Danke an der Stelle, das war für meinen Unterricht wirklich sehr gewinnbringend) finde ich führt zu einem weit aus tieferen Verständnis, als einfach nur "Formeln anwenden"
12.02.2021, 21:25	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Verwirrung kommt von der stillschweigenden Annahme, dass ein Faktor beim x den Graphen horizontal streckt. Das ist aber nicht so! Schon bei linearen Funktionen nicht: Bei Parabeln auch nicht: Und auch nicht bei Exponentialfunktionen: Der Faktor staucht also statt zu strecken. Das ist nicht weiter schlimm, wenn man sich beim Sinus klarmacht, dass der Faktor hier ja eine Frequenz darstellt. Akustisch also eine Tonhöhe, die bei einem Oszilloskop ja auch mehr Perioden auf den Bildschirm bringt, wenn sie steigt. Der Ausdruck sinusomegatee ist einem Physiker sehr vertraut. Und vielleicht hilft es eben hier, sich von der reinen Mathematik zu lösen und die Abszisse zur Zeitachse zu erklären. Viele Grüße Steffen
12.02.2021, 21:28	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Notation der allgemeinen Sinusfunktion b oder 1/b Mein alter Prof (der für mich in vielerlei Hinsicht maßgebliche Instanz ist) hätte es so geschrieben: $\begin{eqnarray} f(x)=a \cdot \sin\left(\frac{x-c}{b} \right)+d \end{eqnarray}$ was in der Schule nicht unbedingt geläufig praktiziert wird. Warum ist es aber sinnvoll? Zunächst ist festzuhalten: Ist $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -periodische Funktion, dann ist $\begin{eqnarray} f(qx) \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ -periodische Funktion. Für $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} p=2 \pi \end{eqnarray}$ . Ferner ist darauf hinzuweisen, dass Streckung/Stauchung und Verschiebung - jeweils nur in x-Richtung - durch Argumenttransformation der Grundfunktion zustandekommen, und da ist nun auch auf die Reihenfolge der Operationen zu achten. Beispiel: Ich will von der Grundfunktion $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ auf die Funktion $\begin{eqnarray} \sin(2x+4) \end{eqnarray}$ kommen. Dann habe ich 2 Möglichkeiten: 1) Erst stauchen, dann verschieben Aus $\begin{eqnarray} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray}$ entsteht durch $\begin{eqnarray} f(2x) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \overline{f}(x)=\sin(2x) \end{eqnarray}$ Diese gestauchte $\begin{eqnarray} \overline{f}(x) \end{eqnarray}$ verschiebe ich jetzt noch um 2 Einheiten nach links durch $\begin{eqnarray} \overline{f}(x+2)=\sin\left[2\left(x+2\right) \right] =\sin(2x+4)]=\overline{\overline{f}}(x) \end{eqnarray}$ 2) Erst verschieben, dann stauchen Aus $\begin{eqnarray} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray}$ entsteht durch Verschiebung um 4 Einheiten nach links $\begin{eqnarray} f(x+4)=\overline{f}(x)=\sin(x+4) \end{eqnarray}$ Diese verschobene $\begin{eqnarray} \overline{f}(x) \end{eqnarray}$ stauche ich jetzt noch entsprechend durch $\begin{eqnarray} \overline{f}(2x)=\sin(2x+4)=\overline{\overline{f}}(x) \end{eqnarray}$ In eingangs genannter Schreibweise wäre das Endergebnis: $\begin{eqnarray} \overline{\overline{f}}(x)=\sin\left(\dfrac{x+2}{\frac{1}{2} } \right) \end{eqnarray}$ wobei aus dem Nenner $\begin{eqnarray} 1/2 \end{eqnarray}$ direkt ersichtlich ist, dass es sich um eine Stauchung "nach innen" handelt, hier speziell mit Halbierung der Periode. Im Zähler ist die Verschiebung in x-Richtung der gestauchten Funktion gemäß Variante 1) ablesbar. Die Scheu vor Kehrwerten sollte man daher vielleicht ablegen.
12.02.2021, 21:47	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Notation der allgemeinen Sinusfunktion b oder 1/b Danke für die schnelle Rückmeldung... Genau wie der genannte Professor würde ich es eben auch schreiben, ob jetzt als 1/b davor oder b im gesamten Nenner ist ja dann auch Wurst, ich hätte auch keine Scheu von den Kehrwerten in der Beschreibung, muss aber akzeptieren, dass die Schulbücher und Formelsammlungen aber lieber b in die Sinusfunktion schreiben... Die genannte „stillschweigende“ Annahme, dass das Schaubild bei Streckung in xRichtung horizontal gestreckt wird bekomme ich durch die sprachliche Formulierung: jede x Koordinate wird mit b multipliziert, gut aus den Köpfen raus. Da dann mit einigen Beispiel und Betrachtung einzelner Punkte gut ersichtlich wird, wie das Schaubild die Form ändert... Aber nun gut, für mich sieht die Situation so aus: wenn man eine Formelsammlung oder ein Buch schreibt dann muss man sich bei der Definition eben für eine „Form“ entscheiden und die meisten wählen eben die mit dem „b“ drin. Und daraus müssen sich dann eben auch die Formeln etc. ergeben. Problematisch wird es eigentlich erst, wenn man die „Form“ wechselt aber die Formeln nicht anpasst und dann wird es halt falsch... Viele Grüße
13.02.2021, 10:24	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Notation der allgemeinen Sinusfunktion b oder 1/b noch ein Nachtrag zu Steffens Beitrag Ich finde diese Formulierung irgendwie nicht ganz passend, vielleicht ist sie aber auch nur besonders kurz gewählt... "Der Faktor staucht also statt zu strecken." Mit Faktor meinst du hier ja bestimmt die Zahl vor dem x in der Funktionslgleichung, z.B. die 5. Tatsächlich ist dies ja aber nicht der Streckfaktor, sondern wenn ich mal einen neuen Begriff verwenden darf , der "Anpassungsfaktor" in der Funktionslglichung, der bei einer Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 1/5 verwendet werden muss. Wenn ich mir die Funktionsgleichung anschaue und aus den "Anpassungsfaktoren" mir erst die tatsächlichen "Streckfaktoren" bilde, dann gilt in beide Richtungen, dass ein "Streckfaktor" mit Betrag kleiner als ein das Schaubild in die entsprechende Richtung staucht. Es macht für mich wenig Sinn zu sagen: "Der Faktor staucht" oder der Faktor "streckt", wenn man nicht die entsprechende Richtung (x oder y) dazu sagt. Interessanterweise kann ich da, wie in den Beispiel von Steffen zu sehen, zum Beispel bei f(x)=x, eine Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 5 als Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1/5 intpretieren und andersrum. Bei trigonometrischen Funktionen geht das jedoch nicht, da ich den "Anpassungsfaktor" nicht aus dem Sinus rausbekomme um ihn vor den Sinus zu schreiben... schönes Wochenende EDIT: Streckfaktor ist für mich die Zahl, mit der die einzelnen Koordinaten der Punkte der Graphenmenge multipliziert werden. in y-Richtung steht dieser Faktor "zufällig" auch in der Funktionslgleichung, für die x-Richtung aber nicht! Ich finde es sehr gewinnbringend wenn man einfach die Graphen als Punktemenge betrachtet, dann ist eigentlich alles klar!
13.02.2021, 13:40	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls dich an der Funktionsgleichung $\begin{eqnarray} f(x)\ =\ y\ =\ a\, \cdot\, sin \left( \frac{1}{b}\, \cdot (x-c)\right) + d \end{eqnarray}$ "stört" , dass a im Zähler und b im Nenner steht, dann solltest du die Gleichung vielleicht einfach mal so schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{ 1}{a}\,\cdot(y\,-\,d)\ =\ sin \left( \frac{1}{b}\, \cdot (x-c)\right) \end{eqnarray}$ Hier werden x und y analog behandelt, und sowohl a als auch b stehen in Nennern, und sowohl c als auch d (die Verschiebungsparameter) sind Subtrahenden !
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13.02.2021, 13:57	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Notation der allgemeinen Sinusfunktion b oder 1/b @steviehawk: Ich glaube, Du hast es schon im Grunde schon gut verstanden und einzelne Aspekte gezielt angesprochen. Funktionsgleichungen von Ursprungsgeraden $\begin{eqnarray} f(x)=ax \end{eqnarray}$ sind natürlich schon ein Sonderfall, da hier, wie sonst üblicherweise nicht, $\begin{eqnarray} f(bx)=b \cdot f(x) \end{eqnarray}$ . Um es nochmal anhand eines Beispiels zu verdeutlichen: [attach]52694[/attach] Ausgehend von $\begin{eqnarray} f(x)=2x \end{eqnarray}$ (rot) bilde ich $\begin{eqnarray} \overline{f}(x)=f(0,4x)=2 \cdot 0,4\cdot x=2\cdot \dfrac{x}{ \left(\frac{5}{2}\right) } \end{eqnarray}$ (blau). An jeder Stelle x wird der alte Funktionswert um den Faktor 2/5 verkleinert. Zugleich gilt: Hat die alte Funktion einen bestimmten Funktionswert $\begin{eqnarray} y_{0} \end{eqnarray}$ an einer Stelle $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ angenommen, dann nimmt die neue Funktion den Funktionswert $\begin{eqnarray} y_{0} \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} 5/2 \cdot x_{0} \end{eqnarray}$ an. Dies kann man also zugleich als Stauchung in y-Richtung und als Streckung in x-Richtung bezeichnen.

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