Pol-Nullstellendarstellung Herleitung

13.02.2021, 08:20

Gast006

Pol-Nullstellendarstellung Herleitung

Meine Frage:
Wie kommt man von:
1.) $\begin{eqnarray*} \frac{b_N \cdot {(s)}^{N} + ... + b_2 \cdot 1) {(s)}^{2} + b_1 \cdot s + b_0}{a_M \cdot {(s)}^{M} + ... + a_2 \cdot {(s)}^{2} + a_1 \cdot s + a_0} = \frac{b_N \prod_{l_z}^{N} (s - {n}_{l_z})}{a_m \prod \limits_{l_N}^{M} (s - {p}_{l_N})} \end{eqnarray*}$

Bitte in zwei drei Schritten. Ich weiss das es das selbe ist, nur komm ich da rechnerisch nicht drauf.

2.) Zu erst soll folgende Beziehung gelten: $\begin{eqnarray*} g_1(k) = g_1(N - k) \end{eqnarray*}$ Dann soll folgender Formel:
$\begin{eqnarray*} G_1(z) = \sum_{k = 0}^{N} g_1(k) \cdot {z}^{-k} \end{eqnarray*}$

folgendes herauskommen:
2.1) $\begin{eqnarray*} \sum_{k = 0}^{N} g_1(k) \cdot {z}^{-k} = \sum_{k = 0}^{N/2 - 1} g_1(k) \cdot {z}^{-k} + g_1(N/2) \cdot {z}^{-N/2} + \sum_{k = N/2 + 1}^{N} g_1(k) \cdot {z}^{-k} \end{eqnarray*}$
Und daraus soll sich folgendes ergeben:
2.2) g_1(N/2) \cdot {z}^{-N/2} + \sum_{k = 0}^{N/2 - 1} g_1(k) \cdot ({z}^{-k} + {z}^{-(N-k)})

Meine Ideen:
Zu 1.):
Wenn ich die das so aufschreibe, komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{b_N \prod_{l_z = 1}^{N} (s - {n}_{l_z})}{a_M \cdot \prod_{l_N = 1}^{M} (s - {p}_{l_N})} = \frac{b_N \dot ((s - n_1)(s - n_2)(s - n_3) \text{ ... } (s - n_N))}{a_M \cdot ((s - p_1)(s - p_2)(s - p_3))} \end{eqnarray*}$

Dann weiss nicht wie man da auf Termen kommt, die ein plus im Zähle und im Nenner jeweils haben.

Zu 2.)
Wie kommt man von Schritt 2.1) auf 2.2)

13.02.2021, 08:26

Gast006

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2.2)
Bei - und daraus soll sich folgendes ergeben - soll folgendes stehen:
$\begin{eqnarray*} g_1(N/2) \cdot {z}^{-N/2} + \sum_{k = 0}^{N/2 - 1} g_1(k) \cdot ({z}^{-k} + {z}^{-(N-k)}) \end{eqnarray*}$

Bei der 1.) sollte folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{b_N \cdot {(s)}^{N} + ... + b_2 \cdot {(s)}^{2} + b_1 \cdot s + b_0}{a_M \cdot {(s)}^{M} + ... + a_2 \cdot {(s)}^{2} + a_1 \cdot s + a_0} = \frac{b_N \prod \limits_{l_z = 1}^{N} (s - {n}_{l_z})}{a_m \prod \limits_{l_N}^{M} (s - {p}_{l_N})} \end{eqnarray*}$

13.02.2021, 08:51

HAL 9000

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Bei 1) werden lediglich die Polynome in Zähler und Nenner vollständig in Linearfaktoren zerlegt. Zumindest im Komplexen ist das immer möglich (siehe "Fundamentalsatz der Algebra"). Deine Darstellung ist allerdings etwas lückenhaft (und mit kleineren Fehlern), sowohl in der Formel als auch der Beschreibung. Augenscheinlich geht es um

$\begin{eqnarray*} \frac{b_N\cdot s^N + \ldots + b_2\cdot s^2 + b_1\cdot s + b_0}{a_M\cdot s^M + \ldots + a_2\cdot s^2 + a_1\cdot s + a_0} = \frac{b_N\prod\limits_{l_z=1}^N \left(s - n_{l_z}\right)}{a_M\prod\limits_{l_N=1}^{M} \left(s - p_{l_N}\right)} \end{eqnarray*}$ .

Vorausgesetzt werden muss $\begin{eqnarray*} b_N\neq 0,a_M\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dabei sind $\begin{eqnarray*} n_1,\ldots,n_N \end{eqnarray*}$ die Nullstellen des Zählerpolynoms sowie $\begin{eqnarray*} p_1,\ldots,p_M \end{eqnarray*}$ die des Nennerpolynoms. Das sind i.a. komplexe Zahlen, die ggfs. auch mehrfach vorkommen dürfen (bei Mehrfachnullstellen).

Bei 2.1) wird einfach nur die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Indexmenge $\begin{eqnarray*} \left\{0,1,\ldots,N\right\} \end{eqnarray*}$ in drei Mengen aufgeteilt. Geht so wie bei dir beschrieben aber nur für gerade $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left\{0,1,\ldots,N\right\} = \left\{0,1,\ldots,\frac{N}{2}-1\right\} \cup \left\{\frac{N}{2}\right\} \cup \left\{\frac{N}{2}+1,\ldots,N\right\} \end{eqnarray*}$ -

Und dann wird jeweils über diese Mengen getrennt summiert. Die mittlere als Einermenge besteht natürlich nur aus dem einen Summand für $\begin{eqnarray*} k=\frac{N}{2} \end{eqnarray*}$ .

Zu 2.2.) In der dritten Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=\frac{N}{2}+1}^N(\ldots) \end{eqnarray*}$ ersetze $\begin{eqnarray*} g_1(k) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} g_1(N-k) \end{eqnarray*}$ und führe anschließend eine Indextransformation $\begin{eqnarray*} \ell = N-k \end{eqnarray*}$ aus: Mit der wird aus $\begin{eqnarray*} k=\frac{N}{2}+1,\ldots,N-1,N \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \ell = \frac{N}{2}-1,\ldots,1,0 \end{eqnarray*}$ (rückwärts gezählt), was man in der Summe dann aber wieder vorwärts schreibt als $\begin{eqnarray*} \sum_{\ell=0}^{\frac{N}{2}-1}(\ldots) \end{eqnarray*}$ .

13.02.2021, 09:16

Gast006

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Zu 1.) Ist das mir das ja bereits klar, dass es die Übertragungsfunktion mit Zählerpolyom dividiert durch Nennerpolynom sein soll. Jedoch komm ich da rechnerisch nicht drauf. Wäre gut wenn du ein bis zwei Schritte aus der Produktreihe aufschreiben könntest, damit ich mal sehe, wie man da rechnerisch drauf kommt.

Das zur 2.2) Habe ich jetzt verstanden, vielen Dank.

13.02.2021, 09:26

Gast006

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Achja warum man bei 2.1) das rückwärts gezählt vorwärts aufschreibt, liegt dann daran, damit wir die g's ausklammern können. Man hätte es rein technisch auch rückwärts aufschreiben können aber dann wäre man wieder nicht auf 2.2) gekommen. Rückwärts aund Vorwärts wären in der Summenreihe mathematisch gesehen dasselbe oder ?

13.02.2021, 10:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast006
Jedoch komm ich da rechnerisch nicht drauf.

Was, bitte, benötigst du noch "rechnerisch"? Kannst du mit den Stichworten "Linearfaktorzerlegung" und "Fundamentalsatz der Algebra" überhaupt was anfangen? Falls ja, verstehe ich nicht, was es hier jetzt noch nachzufragen gibt. unglücklich

Und von welcher Produktreihe sprichst du hier? Ich sehe nirgendwo eine.

15.02.2021, 15:35

Gast006

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Ich bin bei der 2.2 nochmal die Indexverschiebung durchgegangen, da ich die Z Übertragungsfunktion brauche, habe ich das mal direkt in eckigen Klammern geschrieben, die Rechenregeln sollten aber die selben sein. Dabei komme ich jetzt auf folgendes
bei folgender Beziehung:
$\begin{eqnarray*} g_1[k] = g_1[N-k] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_1(z) = \sum_{k = 0}^{N} g_1[k] \cdot {z}^{-k} = \sum_{k = 0}^{N/2 - 1} g_1[k] \cdot {z}^{-k} + g_1[N/2] \cdot {z}^{-N/2} + \sum_{k = N/2 + 1}^{N} g_1[k] \cdot {z}^{-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_1(z) = \sum_{k = 0}^{N/2 - 1} g_1[k] \cdot {z}^{-k} + g_1[N/2] \cdot {z}^{-N/2} + \sum_{k = N/2 + 1}^{N} g_1[N-k] \cdot {z}^{-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_1(z) = \sum_{k = 0}^{N/2 - 1} g_1[k] \cdot {z}^{-k} + g_1[N/2] \cdot {z}^{-N/2} + \sum_{k = (N/2 + 1) - (N/2 + 1)}^{N - (N/2 + 1)} g_1[(N-(k + N/2 + 1))] \cdot {z}^{-k + (N/2 + 1)} \end{eqnarray*}$

dann bekomme ich da folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} G_1(z) = g_1[N/2] \cdot {z}^{-N/2} + \sum_{k = 0}^{N/2 - 1} g_1[k] \cdot {z}^{-k} + \sum_{k = 0}^{N/2 - 1} g_1[N/2 - 1 - k] \cdot {z}^{-(k + N/2 + 1)} \end{eqnarray*}$

So wie du das aufgeschrieben hast verstehe ich das ja aber sobald ich das google finde ich halt das zur Indexverschiebung. Muss das denn nicht das selbe sein ?

15.02.2021, 15:51

HAL 9000

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Was ich vorgeschlagen habe, war keine reine Indexverschiebung, sondern eine Indexumkehr bzw. -spiegelung. Mit einer wirklichen Indexverschiebung klappt es ja auch nicht - siehst du ja selbst, dass du in der dritten Summe partout nicht auf das gewünschte $\begin{eqnarray*} g_1(k) \end{eqnarray*}$ kommst. unglücklich

Aber so ist es wohl: Manchmal muss man den Irrweg eine Weile entlang gehen, damit man es auch wirklich einsieht.

Ok, ausführlich - was passiert bei Indexumkehr $\begin{eqnarray*} \ell = N-k \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k = \frac{N}{2}+1}^N g_1(k) \cdot z^{-k} = \sum_{k = \frac{N}{2}+1}^N g_1(N-k) \cdot z^{-k} = \sum_{\ell = \frac{N}{2}-1}^0 g_1(\ell) \cdot z^{\ell-N} \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt mal die Summe rechts bewusst "falsch" stehen gelassen, denn das dort ist eigentlich als Rückwärtslaufen des Summationsindex $\begin{eqnarray*} \ell \end{eqnarray*}$ zu lesen! Bringen wir das schleunigst in Ordnung durch eine Vorwärts-Summation, wie es sich gehört:

$\begin{eqnarray*} \sum_{\ell=0}^{\frac{N}{2}-1} g_1(\ell) \cdot z^{\ell-N} \end{eqnarray*}$

Schließlich kann man erste und letzte Summe zusammenfassen, wenn wir den Summationsindex letzterer Summe von $\begin{eqnarray*} \ell \end{eqnarray*}$ wieder in $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ umbenennen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\frac{N}{2}-1} g_1(k) \cdot z^{-k} + \sum_{k=0}^{\frac{N}{2}-1} g_1(k) \cdot z^{k-N} = \sum_{k=0}^{\frac{N}{2}-1} g_1(k) \cdot \left(z^{-k} + z^{k-N}\right) \end{eqnarray*}$

15.02.2021, 16:03

Gast006

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Hast du denn mal einen Link, wo ich mir das mal näher anschauen kann ?

15.02.2021, 16:10

HAL 9000

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Was denn für einen Link??? Ich habe keinen Link dazu. Denkst du, die Helfer schreiben ihre Herleitungen immer nur von woanders ab? unglücklich

15.02.2021, 16:19

Gast006

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Ne das meinte nicht. Ich dachte da eher an weiteren Beispielen, die man in Literaturen finden könnte dazu. Also ist das eine Indexverschiebung und dann mit -k die Spiegelung von k gemeint oder ?
Dann ist das ja doch irgendwie eine Verschiebung aber mit der Inversen von k. Sorry wenn sich das etwas Dumm angehört hat. So bewandert in der Thematik zu Reihen, war ich vorher noch nicht und
jetzt brauche ich das zu FIR Filtern und linearphasigen Systemen.

15.02.2021, 16:25

HAL 9000

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Ich hab alles dazu gesagt, in ausführlichster Weise. Noch mehr zerrede ich das ganze jetzt nicht mehr - die Mücke ist schon ein Elefant.

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