Größtes Produkt zweier Summanden deren Summe 50 ist |
| 14.02.2021, 09:25 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Größtes Produkt zweier Summanden deren Summe 50 ist ich würde gerne wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin für folgende Aufgabe: "Bestimmen Sie unter den nichtnegativen Zahlen u und v, deren Summe 50 beträgt, diejenigen u und v, deren Produkt maximal wird." Also: Heißt also, dass für die Zahlen u = v = 25 das Produkt maximal wird. |
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| 14.02.2021, 09:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ist richtig. Wobei du aber eigentlich noch nachweisen musst, dass der Extrempunkt ein Maximum ist (und nicht ggfs. ein lokales Minimum). Wie alle Extremalaufgaben von quadratischen Funktionen geht aber auch diese hier analysisfrei zu bearbeiten, durch Darstellung dieser quadratischen Funktion in Scheitelpunktform: mit Gleichheit für . |
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| 14.02.2021, 09:50 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar, danke. |
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| 14.02.2021, 18:08 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Größtes Produkt zweier Summanden deren Summe 50 ist Puh, Schülern vorzuschlagen, eine "Abschätzung" mittels Scheitelpunktsform/quadratischer Ergänzung als Kriterium für eine Extremstelle heranzuziehen, mag ich mir nicht ernsthaft vorstellen. Zumal Ableiten von Polynomen und Einsetzen schon leicht genug ist. Meine Idee: Die zu maximierende Funktion wird durch eine nach unten geöffnete Parabel dargestellt. Deren Extrempunkt ist zwangsläufig ein Maximum. |
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| 14.02.2021, 19:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist klar, manche (wie du) mögen anscheinend keine einfachen Lösungen. Und wo kommen wir denn da hin, wenn vielleicht selbst Neuntklässler auf diese Weise einfache Extremwertaufgaben lösen könnten. 
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| 14.02.2021, 19:35 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Größtes Produkt zweier Summanden deren Summe 50 ist Die Entgegnung leuchtet mir nicht ganz ein. Neuntklässler haben (noch) keine Differentialrechnung, Mittel-/Realschüler haben überhaupt keine Differentialrechnung. Die können in der Tat ersatzweise mit Scheitelpunktsform Extremstellen finden. Sobald jedoch Differentialrechnung bekannt ist, dürfte die Notwendigkeit entfallen. Die Aufgabe war gar noch im Hochschulbereich eingestellt. In diesem Kontext ist mein Einwurf zu sehen. Und dort ist meine Idee doch sicher nicht minder "einfach". |
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| 14.02.2021, 19:44 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es entfällt die Bestimmung zweier Ableitungen, die Nullstellensuche der ersten Ableitung, das Einsetzen der Nullstelle in die zweite Ableitung... M.E. hat der Weg über die Scheitelpunktform fast nur Vorteile. Es sei denn, man betreibt den Analysisweg in schlampiger Weise (d.h., lässt z.B. die Überprüfung des Maximum/Minimumkriterium über die zweite Ableitung weg usw.). Beiläufig bemerkt liefert die Scheitelpunktdarstellung nicht nur Extremstelle, sondern auch den zugehörigen Extremwert.
Eben. Und warum muss es mit Attribut "ersatzweise" sein, wenn es doch viel einfacher in der Begründung ist (auch für die MIT Analysiskenntnissen)? Es gibt eben auch manchmal andere Wege, Extremwerte zu suchen bzw. beweisen, etwa auch über eine ganze Schar bekannter Ungleichungen (AMGM, Cauchy-Schwarz usw.), die haben gerade bei vielen Variablen erhebliche Vorteile gegenüber dem Analysisweg. |
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| 14.02.2021, 20:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Noch eine Möglichkeit. In der 8. Klasse lernen die Schüler quadratische Funktionen und Parabeln kennen (ich kann hier nur für Baden-Württemberg sprechen). Dort erfahren sie, daß die Parabel wegen des Faktors -1 vor dem quadratischen Glied nach unten geöffnet ist und somit der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist. Aus kann man die Nullstellen ablesen. Aus Symmetriegründen befindet sich die Abszisse des Scheitels in der Mitte zwischen beiden Nullstellen. |
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