Auf Stetigkeit / Differenzierbarkeit überprüfen

14.02.2021, 14:43	Enrico21	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Stetigkeit / Differenzierbarkeit überprüfen Hallo, ich würde mich freuen, falls mir jemand hier weiterhelfen kann. Aufgabe lautet wie folgt: Ist die Funktion $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = \begin{pmatrix} { ln(x-1) + 1 , x\geq 2 \\ x-1, x < 2 } \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ an der Stelle x = 2 a) stetig? b) differenzierbar? c) stetig differenzierbar? d) zwei mal differenzierbar? e) zwei mal stetig differenzierbar? a) 2 gehört zur Definitionsmenge. Prüfen auf rechts- und linksstetig: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{x \to 2} f(x) = ln(2-1) +1 = 1 <br /> \lim_{x \to 2} f(x) = 2-1 = 1 <br /> \end{eqnarray}$ Funktionswert: $\begin{eqnarray} <br /> f(2) = ln(2-1) +1 = 1 <br /> \end{eqnarray}$ Funktionswert und Grenzwert stimmt überein, die Funktion ist an der Stelle x = 2 stetig. b) $\begin{eqnarray} <br /> f^{'}_{1}(x) = \frac{1}{x-1}<br /> f^{'}_{2}(x) = 1<br /> <br /> f^{'}_{1}(2) = \frac{1}{2-1} = 1 = f^{'}_{2}(2)<br /> \end{eqnarray}$ Also ist die Funktion an der Stelle x = 2 differenzierbar (?) Nach was schaue ich bei "stetig differenzierbar"? Und bei zwei mal differenzierbar bilde ich einfach die 2. Ableitung? Habe ich bis hierher alles richtig aufgeschreiben oder fehlt da was?
17.02.2021, 02:53	MoepMaker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auf Stetigkeit / Differenzierbarkeit überprüfen Hallo Enrico21, a) Das stimmt, der rechtsseitige Grenzwert und der linksseitige Grenzwert müssen übereinstimmen, dann ist die Funktion in diesem Punkt stetig. b) Um die Differenzierbarkeit zur prüfen, musst du den rechtsseitigen und den linksseitigen Differentialquotienten berechnen, also $\begin{eqnarray} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2 - h) - f(2)}{h} \end{eqnarray}$ Wenn diese übereinstimmen, ist die Funktion in x = 2 differenzierbar. c) Stetig Differenzierbar heißt einfach, dass die Funktion differenzierbar ist und ihre Ableitung stetig ist. d) und e) funktionieren dann wie a) und b) Viele Grüße, MoepMaker

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