Integral von Brüchen

14.02.2021, 18:33

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

Integral von Brüchen

Hallo,
ich sollte folgende Integrale bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! (xe^{-x²} ) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty } \! (\frac{1}{(x²+1)²} ) \, dx \end{eqnarray*}$

bin mir nicht sicher wie ich hier vorzugehen habe.

besten dank für eure hilfe im voraus.
sg
enmi

14.02.2021, 20:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim ersten Integral liegt eine Substitution auf der Hand.

Beim zweiten Integral kann man mittels der Umformung

$\begin{align*} \frac{1}{\left( x^2 + 1 \right)^2} = \frac{1}{x^2 +1 } - \frac{x^2}{\left( x^2 + 1 \right)^2} = \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{2x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \cdot \frac{1}{2} x \end{align*}$

eine Stammfunktion angeben. Auf den zweiten Summanden wendet man partielle Integration an. Ich habe ihn schon mundgerecht zubereitet, so daß man eine Stammfunktion des ersten Faktors dieses Summanden ablesen kann. Man kann natürlich auch ganz formal die Substitutionsregel auf diesen Faktor ansetzen.
Alternativ kann man von vorneherein $\begin{align*} x = \tan(t) \end{align*}$ substituieren.

15.02.2021, 00:17

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral von Brüchen

Zitat:

Original von enmi
Hallo,
ich sollte folgende Integrale bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! (xe^{-x²} ) \, dx \end{eqnarray*}$

Hier hilft die Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^2\curvearrowright \dd u=2x\dd x \end{eqnarray*}$

15.02.2021, 14:19

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo und vielen dank für eure antworten.
zur ersten aufgabe folgender lösungsversuch:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! (xe^{-x²} ) \, dx \end{eqnarray*}$

z = -x²
z' = -2x

dx = dz/z' = dz/-2x

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! (xe^{z} ) \, dz/-2 \end{eqnarray*}$

die Stammfunktion wäre dann:
-0,5·e^z
bzw
-0,5·e^(-x²)

für x=0 ergibt dass den wert 1
für x=undendlich ergibt dass den wert 0

0 - (-0,5) = 0,5

stimmt das so?
besten dank

15.02.2021, 15:15

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Daß trotz aller Ungenauigkeiten (zum Teil auch Fehler) am Ende das richtige Ergebnis rauskommt, ist schon erstaunlich. An dieser Stelle:

Zitat:

Original von enmi
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! (xe^{z} ) \, dz/-2 \end{eqnarray*}$

stimmt nur noch wenig. Du hast da ein Mix von Integrationsvariablen und wegen deiner Substitution stimmt auch nicht die obere Integrationsgrenze.

Nehmen wir die vorgeschlagene Substitution z = x², wird alles leichter. Zunächst brauchen wir aber eine kleine Umformung:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty } (xe^{-x^2} ) ~dx = \frac 1 2 \int_0^{\infty } e^{-x^2} \cdot 2x ~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir:
z = x²
dz/dx = 2x bzw. dz = 2x*dx

Somit haben wir durch die Substitution:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \int_0^{\infty } e^{-x^2} \cdot 2x ~dx = \frac 1 2 \int_0^{\infty } e^{-z} ~dz = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

15.02.2021, 16:05

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

besten dank für deinen ausführlichen lösungsweg. hatte tatsächlich trotz des fehlers das richtige ergebnis verwirrt

verwirrt

jetzt ist es aber klar.

danke nochmals

Anzeige

15.02.2021, 17:24

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für deine hilfe. leider komme ich aber nicht wirklich weiter. zum einen finde ich dir umformung schon ziemlich herausfordernd und zum anderen ist mir nicht wirklich klar wie ich von hier aus weiter rechnen kann.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{2x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \cdot \frac{1}{2} x \end{eqnarray*}$

der erste faktor des summanden wäre ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \end{eqnarray*}$

und hier soll die stammfunktion ablesbar sein?

wäre froh wenn du mir noch ein paar hinweise geben könntest.

besten dank im voraus

15.02.2021, 17:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne mal $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{x^2+1}\right)' \end{eqnarray*}$ ...

Für noch größere Potenzen von $\begin{eqnarray*} (x^2+1) \end{eqnarray*}$ im Nenner siehe hier. Vielleicht hilft es auch schon beim Verständnis des Falls $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ .

15.02.2021, 18:09

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

das müsste

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x}{(x²+1)²} \end{eqnarray*}$

sein.

15.02.2021, 20:17

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe es jetzt mal so probiert:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty } \! (\frac{1}{(x²+1)²} ) \, dx \end{eqnarray*}$

u = x² + 1 => x = (u-1)^0,5
u' = 2x => dx = du/2x

daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty } \! (\frac{1}{(u)²} ) \, \cdot \frac{du}{2\cdot \sqrt{u-1} } \end{eqnarray*}$

und schon stecke ich wieder fest. ich kann das ganze zwar noch ein wenig umformen aber wirklich weiter hilft mir das leider auch nicht verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

15.02.2021, 20:53

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast HALs Hinweis richtig umgesetzt und doch das Entscheidende nicht bemerkt. Wenn die Ableitung von $\begin{align*} \frac{1}{x^2 + 1} \end{align*}$ gerade $\begin{align*} \frac{-2x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \end{align*}$ ist, was muß dann eine Stammfunktion von $\begin{align*} \frac{-2x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \end{align*}$ sein?

Und damit kannst du meinen Lösungsvorschlag für das zweite Integral noch einmal aufgreifen

15.02.2021, 21:57

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. das habe ich wirklich irgendwie übersehen. also ich habe jetzt wie folgt gerechnet.

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{2x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \cdot \frac{1}{2} x\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{1}{x^2 + 1} + \int_{a}^{b} \! \frac{-2x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \cdot \frac{1}{2} x\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{1}{x^2 + 1} dx \end{eqnarray*}$ = arctan (x)

und
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{-2x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \cdot \frac{1}{2} x\, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x²+1)\cdot 2} -\frac{1}{2} \cdot arctan(x) \end{eqnarray*}$

damit müsste die gesamte lösung so aussehen:

arctan (x) + $\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x²+1)\cdot 2} -\frac{1}{2} \cdot arctan(x) \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt unendlich und 1 einsetze erhalte ich als ergebnis 22,75 verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

kann das stimmen?

UND WARUM FUNKTIONIERT DIE SUBSTITUTION HIER NICHT??? traurig

traurig

traurig

traurig

15.02.2021, 23:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt. Aber warum vereinfachst du nicht Offensichtliches:

$\begin{align*} \int \frac{\dd x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \ = \ \frac{1}{2} \left( \frac{x}{x^2+1} + \arctan(x) \right) \end{align*}$

Für das bestimmte Integral heißt das:

$\begin{align*} \int_1^{\infty} \frac{\dd x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \ = \ \lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{b}{b^2 + 1} + \arctan(b) \right) \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1^2 + 1} + \arctan(1) \right) \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{\pi}{4} - \left( \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8} \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \end{align*}$

Zitat:

Original von enmi
UND WARUM FUNKTIONIERT DIE SUBSTITUTION HIER NICHT??? traurig

traurig

traurig

traurig

Warum sollte sie? Substitution ist nur ein Mittel, um ein Integral in ein anderes zu verwandeln. Mehr nicht. Ob das neue Integral einfacher lösbar ist, hängt von den Umständen ab. Es gibt da viele Tricks und Kniffe, von denen man sich den ein oder andern aneignen kann. Aber manche Integrale widerstehen auch den stärksten Attacken (unter uns: das ist sogar die Regel). Da hilft dann alles nichts.

Übrigens: Mit der Substitution $\begin{align*} x = \tan(t) \end{align*}$ läßt sich das Integral auf $\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) ~ \dd t \end{align*}$ zurückführen. Dieses wiederum kann mittels partieller Integration und trigonometrischem Pythagoras gelöst werden. Alternativ bieten sich trigonometrische Umrechnungsformeln fürs doppelte Argument an.
Und wenn du fragst: Woher weiß man das? Einfache Antwort: Man hat's mal irgendwo gesehen und erinnert sich. Oder man erinnert sich zumindest, wo man nachschauen kann.

16.02.2021, 01:44

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Das Ergebnis stimmt. Aber warum vereinfachst du nicht Offensichtliches:

$\begin{align*} \int \frac{\dd x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \ = \ \frac{1}{2} \left( \frac{x}{x^2+1} + \arctan(x) \right) \end{align*}$

Ich habe mal eine Frage, da du ja in anderen Details sehr streng bist:
würdest du einem Schüler einen Fehler ankreiden, wenn er hier "+ constant" wegliesse? smile

smile

16.02.2021, 07:51

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es dir besser gefällt:

$\begin{align*} \int \frac{\dd x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{x^2 + 1} + \arctan(x) \right) + \frac{\pi}{252} \end{align*}$

oder

$\begin{align*} \int \frac{\dd x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{x^2 + 1} + \arctan(x) + \operatorname{e}^{-3} \right) \end{align*}$

oder

$\begin{align*} \int \frac{\dd x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{x^2 + 1} + \arctan(x) + 5 \ln(2) \right) - \pi^{\frac{3}{2}} \end{align*}$

Ich könnte noch weitere anbieten ...

Zitat:

Original von Luftikus
würdest du einem Schüler einen Fehler ankreiden, wenn er hier "+ constant" wegliesse? smile

smile

Der Fall kommt nicht vor, da ich das unbestimmte Integral in der Schule nicht (mehr) behandle, und zwar eben aus den Gründen, die dich veranlaßt haben, deine Frage zu stellen. Es lohnt sich darüber nachzudenken, wie man diesen Begriff logisch einwandfrei definieren könnte. Dein Ansatz ist keine Lösung.

16.02.2021, 08:11

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

besten dank für eure hilfe.
ihr habt mir wirklich weitergeholfen.
sg
enmi

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »