Separabilität

14.02.2021, 20:45

Elli.

Separabilität

Meine Frage:
Hallo,

ich möchte zeigen, dass das Polynom
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{5} + 3x^{3} - 2x^{2} - 6 \end{eqnarray*}$
separabel ist.
Nach VL weiß ich, dass das der Fall ist wenn das Polynom und seine Ableitung teilerfremd sind (ggT = 1).
Jetzt zu meinem Problem: wenn ich den ggT mittels Polynomdivision berechnen will komme ich da zu keinem Ergebnis. Die Polynomdivision zieht sich auch ziemlich in die Länge, mit relativ komplizierten Zahlen. Habe die einzelnen Zwischenschritte auch schon überprüft, aber komme nicht auf den ggT 1.
Nach einem Onlinerechner ist der ggT jedoch 1.

Ist mein Vorgehen eventuell doch falsch?

Gibt es noch eine andere Möglichkeit um zu zeigen, dass dieses Polynom separabel ist?

LG Elli.

Meine Ideen:
-

14.02.2021, 20:58

HAL 9000

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Alternativ kann man die Nullstellen auch direkt erkennen via Faktorisierung $\begin{eqnarray*} f(x) = x^5+3x^3-2x^2-6 = x^2(x^3-2) + 3(x^3-2) = (x^2+3)(x^3-2) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Elli.
wenn ich den ggT mittels Polynomdivision berechnen will komme ich da zu keinem Ergebnis.

Wie ist das zu verstehen: Mangelndes Durchhaltevermögen? Verständnislücken bei der Durchführung des Verfahrens? Denn an sich findet das Verfahren ja ein Ende, da mit jedem Schritt der Polynomgrad um mindestens 1 abnimmt! verwirrt

14.02.2021, 22:29

Elli.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort smile

Das ich zu keinem Ergebnis komme war falsch formuliert. Ich komme zwar zu einem Ergebnis, aber nicht zu dem, dass der ggT = 1 ist. (Was er ja sein müsste.)

Ich komme irgendwann an diesen Punkt:

$\begin{eqnarray*} (14x^{2} + 21 x + 25) : (\frac{33}{14} x - \frac{9}{14} ) = \frac{196}{33}x + \frac{1274}{121} <br /> Rest: \frac{3844}{121} \end{eqnarray*}$

Hier müsste ich ja dann weiterrechnen mit:

$\begin{eqnarray*} (\frac{33}{14} x - \frac{9}{14} ) : \frac{3844}{121} = \frac{3993}{53816} x <br /> Rest: -\frac{9}{14} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{3844}{121} : (-\frac{9}{14}) = -49,41... <br /> Rest 0 \end{eqnarray*}$

Aber -9/14 ist ja nicht der ggT, der soll ja 1 sein.
Bei den letzten beiden Schritten war ich mir auch unsicher, ob ich das so rechnen kann, wüsste aber nicht wie sonst. Mache ich da eventuell was falsch?
Bis zu dem Schritt davor habe ich alles öfters geprüft, also das müsste eigentlich passen...
Kann mir nicht erklären, warum ich den ggT von 1 nicht rausbekomme. verwirrt

Zu deinem alternativen Vorschlag:
Wie könnte ich dann mithilfe der Nullstellen bestimmen, ob das Polynom separabel ist?

14.02.2021, 22:54

HAL 9000

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Ok, es ist also "Verständnislücke bei der Durchführung des Verfahrens": Denn mit

Zitat:

Original von Elli.
Rest: $\begin{eqnarray*} \frac{3844}{121} \end{eqnarray*}$

bist du bei einem Polynom Nullten Grades (d.h. Konstante) angelangt - weniger geht nicht. Du bist damit also fertig, und hast es nicht gemerkt.

14.02.2021, 23:01

HAL 9000

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Der letzte Schritt (soweit du den eben noch brauchst) hätte damit übrigens lauten müssen:

$\begin{eqnarray*} (\frac{33}{14} x - \frac{9}{14} ) : \frac{3844}{121} = \frac{3993}{53816} x - \frac{1089}{53816} \end{eqnarray*}$
Rest: 0

15.02.2021, 09:25

Elvis

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Man kann auch die Resultante von f und f' berechnen, das ist die folgende Determinante. Zwei Polynome, hier f und f' haben genau dann eine gemeinsame Nullstelle, wenn ihre Resultante gleich 0 ist. Determinanten-Rechner: http://elsenaju.info/Rechner/Determinante-NxN.htm

15.02.2021, 09:40

Elli.

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ok, es ist also "Verständnislücke bei der Durchführung des Verfahrens": Denn mit

Zitat:

Original von Elli.
Rest: $\begin{eqnarray*} \frac{3844}{121} \end{eqnarray*}$

bist du bei einem Polynom Nullten Grades (d.h. Konstante) angelangt - weniger geht nicht. Du bist damit also fertig, und hast es nicht gemerkt.

Okay danke. Aber woher weiß ich hier dann, dass der ggT=1 ist?
Aus dem letzten korrigierten Schritt (mit Rest 0) wäre doch eigentlich der ggT abzulesen oder? verwirrt

Also hier 3844/121?

15.02.2021, 10:54

HAL 9000

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Wir sind hier nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , sondern in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ . Und in letzterem Ring ist jede reelle Zahl ungleich Null eine Einheit, sei es nun $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{3844}{121} \end{eqnarray*}$ .

15.02.2021, 21:42

Elli.

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wir sind hier nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , sondern in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ . Und in letzterem Ring ist jede reelle Zahl ungleich Null eine Einheit, sei es nun $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{3844}{121} \end{eqnarray*}$ .

Okay

Wenn ich den ggT angeben wollen würde, müsste ich dann aber 3844/121 nehmen oder?

Nochmal zusammengefasst: sobald ich bei so einer Aufgabe auf eine Konstante komme, kann ich an der Stelle aufhören und sagen, dass die Polynome teilerfremd sind, richtig?

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