Reihen auf Konvergenz untersuchen

15.02.2021, 12:04

Enrico21

Reihen auf Konvergenz untersuchen

Hallo, ich habe mir nochmal paar Reihen geschnappt und sie auf Konvergenz untersucht.
Danke, falls sich jemand die Zeit nimmt mal drüberzuschauen.
Vielleicht hat jemand einen Denkanstoß für die b) für mich?

a)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cos(n* \frac{\pi}{2} ) \cos(n* \frac{\pi}{2} ) = \cos(0) = 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cos(n* \frac{\pi}{2} ) = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
= harmonische Reihe => divergiert

b) Hier bin ich leider nicht wirklich weiter gekommen...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(e - \sqrt{n})^{2}} \end{eqnarray*}$

c)
Mittels Quotientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\begin{pmatrix} 4n \\ 3n \end{pmatrix} } \frac{\begin{pmatrix} 4n \\ 3n \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 4n+1 \\ 3n+1\end{pmatrix} } = \frac{\frac{4n!}{3n!*n!} }{\frac{(4n+1)!}{(3n+1)!*n!}} = \frac{4n!*(3n+1)!*n!}{(4n+1)!*3n!*n!} = \frac{(3n+1)}{(4n+1)} = \frac{n*(3+1/n)}{n*(4+1/n)} \lim_{n \to \infty} \frac{n*(3+1/n)}{n*(4+1/n)} = \frac{3}{4} < 1 \end{eqnarray*}$
=> divergiert

15.02.2021, 12:29

HAL 9000

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Bei a) bist du schwer im Irrtum, was die beteiligten Kosinuswerte betrifft: Es ist $\begin{eqnarray*} \cos\left(n\cdot \frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$

a) gleich Null für alle ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ,
b) gleich 1 für alle $\begin{eqnarray*} n=4m \end{eqnarray*}$ ,
c) gleich -1 für alle $\begin{eqnarray*} n=4m+2 \end{eqnarray*}$ .

Lassen wir also die ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus der Summe weg und substituieren $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$ , dann folgt

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cos\left(n\cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k} \end{eqnarray*}$ .

Und diese Reihe ist konvergent!!!

15.02.2021, 12:47

Enrico21

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Okay stimmt, der Kosinus nimmt verschiedene Werte an, da habe ich zu einfach gedacht.

Allerdings ist mir der Schritt mit der Substitution nicht klar, das haben wir noch nicht behandelt.

Gibts da noch eine andere Möglichkeit?

15.02.2021, 15:03

HAL 9000

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Scheint ein stereotyper Reflex zu sein:

Zitat:

Original von Enrico21
das haben wir noch nicht behandelt.

Da gibt es nichts zu behandeln!!! Sondern nur zu tun: Wenn die ungeraden Indizes wegfallen (der Kosinuswerte 0 wegen), dann bleibt nur noch über $\begin{eqnarray*} n=2,4,6,8,\ldots \end{eqnarray*}$ zu summieren, und das entspricht nun mal $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ .

Da kann man nun wirklich mit etwas Nachdenken selbst drauf kommen. unglücklich

b) ist trivial: Für $\begin{eqnarray*} n>e^2 \end{eqnarray*}$ (mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} n\geq 8 \end{eqnarray*}$ ) gilt $\begin{eqnarray*} 0 < \sqrt{n}-e < \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left(e-\sqrt{n}\right)^2} > \frac{1}{\left(\sqrt{n}\right)^2} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , was dann unter Nutzung des Minorantenkriteriums Divergenz bedeutet.

Übrigens: Ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl, die kein ganzzahliges Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cos(nx) \end{eqnarray*}$ stets konvergent.

Mit Leibniz ist das in dieser allgemeineren Form nicht mehr zu erschlagen, wohl aber mit Dirichlet. Augenzwinkern

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