Kreisprojektion auf zylindrische Oberfläche

17.02.2021, 13:52

Mathe-Gerch

Kreisprojektion auf zylindrische Oberfläche

Meine Frage:
Hi,

ich möchte die Fläche zweier sich schneidendre Zylinder berechnen.
Die Zylinderachsen stehen senkrecht zueinander, allerdings versetzt.
Das ganze in abhängigkeit von r1, r2 und x (r=radius, x=senkrechter Abstand der Zylinderachsen).
Vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Bei der Fläche handelt es sich um eine gekrümmte Ellipse. Die länge der langen Halbachse entspricht der Bogenlänge des großen zylinders auf Basis des Durchmessers des kleinen Zylinders. Die länge der kleinen Halbachse ist der Durchmesser des kleinen Zylinders. Bei dem Einbeziehen der Krümmung bräuchte ich eine schlaue Idee bitte smile

17.02.2021, 22:20

hawe

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RE: Kreisprojektion auf zylindrische Oberfläche
Hallo,

diese Fragstellung unter Schulmathematik zu posten finde ich gewagt?

Das eine oder andere Beispiel von sich schneidenen Zylindern hab ich mal mit GeoGebra CAS versucht und die Schnittkurven berechnet. Ich glaube nicht, das diese Fläche als Ellipse durchgeht - ein ähnliches Schnittmuster sieht unter ggb anders aus. So etwa

[attach]52720[/attach]

evtl. auch http://www.3d-meier.de/tut9/Seite2.html

Willst Du wirklich die Fläche berechnen?
Wie sieht es mit CAD aus, könnte man damit die Fläche ausmessen?

18.02.2021, 10:30

mYthos

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RE: Kreisprojektion auf zylindrische Oberfläche

Zitat:

Original von hawe
...
diese Fragstellung unter Schulmathematik zu posten finde ich gewagt?
...

Im Forum Geometrie können auch Hochschulthemen gepostet werden, denn unter Hochschulmathematik gibt es kein Geometrie-Unterforum.
Geometrie ist daher sozusagen ein Sammelbecken.

mY+

18.02.2021, 10:50

Steffen Bühler

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RE: Kreisprojektion auf zylindrische Oberfläche
Ja, deswegen hab ich's hierhin verschoben, wo die Experten sitzen.

Viele Grüße
Steffen

19.02.2021, 05:10

klauss

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RE: Kreisprojektion auf zylindrische Oberfläche
Das müßte doch eigentlich mit Oberflächenintegral machbar sein. Vorschlag:

[attach]52727[/attach]

Ich lege den schmaleren Zylinder mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r_{2} \end{eqnarray*}$ (blau) um die z-Achse, dann wird das Integrationsgebiet schon mal angenehm werden.
Einen halben größeren Zylinder mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r_{1} \end{eqnarray*}$ lege ich zunächst um die x-Achse (grün) und verschiebe ihn dann um den Abstand $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ der Zylinderachsen in y-Richtung (rot.)

Letzterer als skalare Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt{r_{1}^{2}-\left(y+d\right)^{2} } \end{eqnarray*}$
und in Parameterform
$\begin{eqnarray*} \vec{\varphi}(x,y)=\begin{bmatrix} x \\ y \\ \sqrt{r_{1}^{2}-\left(y+d\right)^{2} } \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
mit passenden Definitionsbereichen.

Mit Formel
$\begin{eqnarray*} A=\int_{}^{} \! \int_{B}^{} \! \begin{vmatrix} \dfrac{\partial \vec{\varphi} }{\partial x} \times \dfrac{\partial \vec{\varphi} }{\partial y} \end{vmatrix} \, d\vec{x} \end{eqnarray*}$
komme ich letztlich auf eine Schnittfläche von

$\begin{eqnarray*} A=r_{1} \cdot \int_{-r_{2} }^{r_{2} } \! \int_{-\sqrt{r_{2}^{2}-x^{2} } }^{\sqrt{r_{2}^{2}-x^{2} }} \! \dfrac{1}{\sqrt{r_{1}^{2}-\left(y+d\right)^{2} } } \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

Man kann dann vielleicht noch zu Polarkoordinaten übergehen, aber mit eingesetzten Zahlen für die Parameter wird es zur maschinellen Berechnung allemal reichen.

Sollte ich (mangels ständiger Übung) auf den Holzweg geraten sein, bitte Korrektur.

19.02.2021, 12:52

gnt

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Wenn Du die Parameter vor der Berechnung ein bisschen umstellst, sollte das recht einfach möglich sein:
Transformiere das Problem so, dass Zylinder A senkrecht auf der x/y-Ebene steht. Dann ist A ein Kreis, über dessen Fläche Du integrierst.
Transformiere das Problem noch so, dass Zylinder B senkrecht auf der x/z-Ebene steht. Dann kannst Du bei der Integration des Kreises die y-Koordinate unverändert als y-Länge eines infinitesimalen Rechtecks verwenden; die x-Koordinate hingegen muss der Krümmung entsprechend skaliert werden.
Transformierst Du das Problem weiter, so dass die Achse von B auf der y-Achse liegt, so ist die x-Länge in der Integration entsprechend der Krümmung r/sqrt(r²-x²).

21.02.2021, 10:30

Gualtiero

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Ein anderer, aus der Praxis kommender Ansatz: wenn man durch beide Rohre einen Schnitt legt, der sowohl entlang der Achse des kleinen als auch senkrecht zur Achse des großen Zylinders geht, ergibt sich folgendes Schnittbild:

[attach]52760[/attach]

Der blau markierte Bogen stellt die Achse des projizierten Kreises dar.
Jeder Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf diesem Bogen kann wiederum über einen Winkel zurückprojiziert werden auf den Querschnitt des kleinen Rohrs (=Kreis $\begin{eqnarray*} K_k \end{eqnarray*}$ ), wo er $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ heißen möge.
Jetzt kann eine auf $\begin{eqnarray*} P'M_k \end{eqnarray*}$ senkrecht stehende Sehne in $\begin{eqnarray*} K_k \end{eqnarray*}$ errechnet werden.

$\begin{eqnarray*} \text{halbe Sehne}=\sqrt{r_2^2-(\cos \alpha -d)^2} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im Bogenmaß einerseits und den zugehörigen (Halb-)Sehnen kann der projizierte Kreis konstuiert werden.
Das ergibt dieses Bild

[attach]52761[/attach]

und als Fläche ~ 0.375045752 bei folgenden Angaben:

r1 = 1
r2 = 0.3
d = 0.6

Für die Flächenberechnung habe ich allerdings eine selbst erstellte Routine verwendet, weil es mit dem Integrieren von $\begin{eqnarray*} f(\alpha)=\sqrt{1.2 \cdot \cos \alpha -\cos^2 \alpha - 0.27} \end{eqnarray*}$ Schwierigkeiten gibt.

21.02.2021, 12:54

hawe

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Ob sich der Fragesteller zurückgezogen hat?

Ich hab ich einen ähnlichen Ansatz verfolgt und die Schnittkurve der beiden Zylinder berechnet und den y-Anteil betrachtet

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{rrr}-d + r_z \; \operatorname{sin} \left( t \right)&\sqrt{-d^{2} + 2 \; d \; r_z \; \operatorname{sin} \left( t \right) + r_k^{2} - r_z^{2} \; \operatorname{sin} ^{2}\left( t \right)} \cdot \frac{\left|r_k\right|}{r_k}&\operatorname{cos} \left( t \right) \; r_z\\-d + r_z \; \operatorname{sin} \left( t \right)&\sqrt{-d^{2} + 2 \; d \; r_z \; \operatorname{sin} \left( t \right) + r_k^{2} - r_z^{2} \; \operatorname{sin} ^{2}\left( t \right)} \cdot \frac{\left|r_k\right|}{r_k}&\operatorname{cos} \left( t \right) \; r_z\\\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

(btw. GeoGebra macht bei dem Integal keine Zicken) mit den Werten von Gualtiero erhalte ich die gleiche Funktion und die gleich große Flächenzahl:

[attach]52762[/attach]

Ich bin mir aber nicht sicher, ob auch die Raumkrümmung richtig berücksichtigt wird bei der Abwicklung in der Ebene und hab eine handwerkliche Annäherung versucht.

Ich hab das Loch mit Polygonen zu gehäkelt. Testwerte im Bild.
[attach]52764[/attach]

Rechts 100 Schritte mit einem schönen Moire-Muster Area~0.37488
Links 2000 Schritte Area~0.37499

Der Unterschied vom Häkelloch zum Integral war mir dann doch zu groß um den Ansatz zu bestätigen. Ist das Intergal exakt oder auch nur eine Näherung?

21.02.2021, 13:56

rumar

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Wunderschönes Ei !

Jetzt müssen wir nur noch die Hühner züchten, welche das auch so perfekt hinkriegen !

21.02.2021, 14:19

Gualtiero

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Zitat:

Original von hawe
Der Unterschied vom Häkelloch zum Integral war mir dann doch zu groß um den Ansatz zu bestätigen. Ist das Intergal exakt oder auch nur eine Näherung?

Wie gesagt stammt mein Flächenergebnis aus einem selbst geschriebenen kleinen Programm, wobei mein Ansatz die gute alte Streifenmethode war. Also ist das mathematisch gesehen eine Näherung, aber ich denke für praktische Zwecke wird es reichen.
Hier ein paar Werte für verschiedene Streifenanzahl:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	Streifenanzahl Fläche 100000 0.375045751709014 150000 0.37504575298986 250000 0.37504576087307 350000 0.375045762102991

Also bis zur 6. Nachkommastelle dürfte mein Wert vertrauenswürdig sein.

21.02.2021, 19:42

klauss

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RE: Kreisprojektion auf zylindrische Oberfläche
Damit bestätigt sich dankenswerterweise meine Berechnung, die eine Fläche von gerundet 0,375046 liefert.
Die beiden Alternativansätze finde ich auf Anhieb deutlich kniffliger zu durchdringen. Alle Achtung.

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