Eigenwerte indefinit - Wie feststellen ob Maximum oder Minimum?

17.02.2021, 14:24	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte indefinit - Wie feststellen ob Maximum oder Minimum? Meine Frage: Hallo! In dieser Aufgabe geht es darum, die Maximum- und Minimumpunkte einer Funktion mit mehreren Veränderlichen zu bestimmen, und so auch festzustellen ob diese konvex oder konkav ist. Also zuerst den Gradienten berechnen, um zu bestimmen ob überhaupt ein Extrempunkt vorhanden ist, und dann die Hesse-Matrix berechnen, um zu bestimmen ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt. Wenn es sich um ein Maximum handelt -> konkav, wenn es sich um ein Minimum handelt -> konvex. Meine Ideen: So bei einem Beispiel ist die Funktion f(x,y,z) = 2x + 3y - 5z. Der Gradient enthält die partiellen Ableitungen 2, 3 und -5. Die partiellen Ableitungen müssen auf 0 gesetzt werden, was ja hier offensichtlich nicht klappt da 2=0 usw. nicht möglich ist. Jedoch lautet die Aufgabe "Zeigen Sie dass folgende Funktionen ein Maximum oder ein Minimum haben, und mithilfe dessen ob sie konvex oder konkav sind" was ja nahelegt dass es diese Extrempunkte auch geben muss. Also weitergemacht, die Hesse-Matrix enthält logischerweise nur Null-Werte. Demnach sind die Eigenwerte der Matrix = 0, welches laut unserem Skript bedeutet dass die Eigenwerte indefinit sind und nicht bestimmen werden konnte ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt. Was tut man in so einem Fall? Bedeutet dass jetzt dass es tatsächlich keinen Extrempunkt gibt? Und ist die Funktion konvex oder konkav? Gibt es eventuell noch andere Methoden um dies zu bestimmen?
17.02.2021, 18:33	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} T (\vec x ) = \vec a \cdot \vec x \end{eqnarray}$ mit dem festen Vektor $\begin{eqnarray} \vec a=(2\|3\|-5) \end{eqnarray}$ hat keine Extrema, weil der Gradient $\begin{eqnarray} \nabla T=\vec a \end{eqnarray}$ nicht verschwindet. Für diese Funktion können Extrema nur dann vorliegen, wenn Nebenbedingungen existieren. Schau' mal in deiner Aufgabenstellung nach, ob Nebenbedingungen gegeben sind! Wenn man T als Temperatur des Raumes interpretiert, so beschreibt deine Funktion $\begin{eqnarray} T (\vec x ) = \vec a \cdot \vec x \end{eqnarray}$ für ein festes T diejenigen Ebene, auf der diese konstante Temperatur T herrscht. Für verschiedene T bekommt man verschiedene parallele Ebenen mit unterschiedlichen Temparaturen. Der Vektor $\begin{eqnarray} \vec a=(2\|3\|-5) \end{eqnarray}$ steht senkrecht auf allen Ebenen mit konstanter Temperatur. Wenn man sich also in Richtung $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ bewegt, wird es immer wärmer (kälter). Wenn man sich senkrecht zu $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ bewegt, bleibt die Temperatur konstant, da man innerhalb der Ebene bleibt. Schon daran wird anschaulich klar, dass keine maximale/minimale Temperatur existieren kann.
18.02.2021, 12:32	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos Okay vielen Dank für die Antwort!

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