Laplace Rücktransformation

18.02.2021, 13:02

MMchen60

Laplace Rücktransformation

Hallo, ich habe für die DGL 2. Grades
$\begin{eqnarray*} y(t)''+4y(t)=cos(\omega t) \end{eqnarray*}$ mit y(0)=1 und y'(0)=2 durch Laplace-Tansformation erhalten:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{L}[y(t)](s)=\frac {s^3+2s^2+2 \omega ^2+s+2 \omega ^2}{(s^2+4)(s^2+\omega ^2)} \end{eqnarray*}$
Ich habe jetzt aber Schwierigkeiten mit der Rücktransformation, da ich in den Laplace-Tabellen kein Äquivalent finde. Habe mir das von Wolfram-Alpha ausrechnen lassen, die bekommen
$\begin{eqnarray*} y(t)=\frac {(\omega ^2-4)sin(2t)+(\omega ^2-3)cos(2t)-cos(\omega t)}{\omega ^2-4} \end{eqnarray*}$
Hat hier jemand eine Idee für die Rücktransformation? (Wollte mir mal ein Abo der Step-by-Step-Solution bei Wolfram Alpha zulegen, die haben aber leider nur Kreditkartenzahlung und so etwas verwende ich nicht).
Ich denke mal, da ist Partialbruchzerlegung dahinter, aber wie?
Vielen Dank für Antwort
M. Müller

18.02.2021, 20:59

grosserloewe

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Hallo,

ich habe für das letzte (ganz rechte) $\begin{eqnarray*} 2 \omega^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega^2 s \end{eqnarray*}$ erhalten.

Der Ansatz lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{s^3 +2 s^2 +2\omega^2 +s +\omega^2s}{(s^2+4)(s^2 +\omega^2)} =\frac{A+Bs}{s^2+4} + \frac{C+Ds}{s^2+ \omega^2} \end{eqnarray*}$

19.02.2021, 10:30

MMchen60

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Zitat:

Der Ansatz lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{s^3 +2 s^2 +2\omega^2 +s +\omega^2s}{(s^2+4)(s^2 +\omega^2)} =\frac{A+Bs}{s^2+4} + \frac{C+Ds}{s^2+ \omega^2} \end{eqnarray*}$

Hallo Danke sehr. Aber wie kommt man auf sowas? Klar, Nenner auseinanderreißen, aber warem dann jeweils zwei Summanden im Zähler, der eine mit s und der andere ohne s?
Vielen Dank.

19.02.2021, 10:53

klarsoweit

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Das ist die Regel: wenn das s im Nenner quadratisch vorkommt, dann braucht es im Zähler einen linearen Term. smile

19.02.2021, 12:06

grosserloewe

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Hallo,

hier die Theorie dazu:

https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=445212

20.02.2021, 10:58

MMchen60

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das ist die Regel: wenn das s im Nenner quadratisch vorkommt, dann braucht es im Zähler einen linearen Term. smile

Hallo danke, habe es hinbekommen, alles klar.
Grüße Meinolf

20.02.2021, 10:59

MMchen60

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Zitat:

Original von grosserloewe
Hallo,

hier die Theorie dazu:

https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=445212

Hallo danke, best documentation forever.
Grüße
Meinolf

20.02.2021, 12:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von grosserloewe
Der Ansatz lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{s^3 +2 s^2 +2\omega^2 +s +\omega^2s}{(s^2+4)(s^2 +\omega^2)} =\frac{A+Bs}{s^2+4} + \frac{C+Ds}{s^2+ \omega^2} \end{eqnarray*}$

Sofern man $\begin{eqnarray*} \omega\neq 2 \end{eqnarray*}$ voraussetzen darf.

Im Fall $\begin{eqnarray*} \omega=2 \end{eqnarray*}$ (Resonanz) liegen die Dinge ja etwas anders.

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