Extremwertprobleme

18.02.2021, 14:00

JonnyBoy84

Extremwertprobleme

Wir haben im Unterricht das Thema Extremwertproblem gerade angefangen.

Der letzte Anhang ( .pdf ) ist das einzige, was wir diesbezüglich im Unterricht Themenspezifisch gemacht haben .

Dazu haben wir die angehängten Aufgaben bekommen .

Die erste Aufgabe ( Übung 4 ) habe ich folgendermaßen begonnen :

Erstmal wird genannt, dass es für maximal 10 m Umrandung für einen Kreis und ein Quadrat die kleinstmögliche Fläche gesucht wird.

Wissen wir :

A ( Quadrat ) = x²
A ( Kreis ) = PI * r²
A ( Gesamt ) = [ A ( Quadrat ) ] + [ A ( Kreis ) ] = [ x² ] + [ Pi * r² ]

U ( Quadrat ) = 4 * x
U ( Kreis ) = 2 * Pi * r
U ( Gesamt ) = U ( Quadrat ) ] + [ U ( Kreis ) ] = [ 4 * x ] + [ 2 * Pi * r ]

U ( Gesamt ) = 10 ( m )

A ( gesamt ) = ---> ??? kleinst möglich ???

Also ist eine Formel :
U ( Gesamt ) = [ U ( Quadrat ) ] + [ U ( Kreis ) ] = 10
----------> [ 4 * x ] + [ 2 * Pi * r ] = 10
-----------------> ( wenn wir jetzt nach x auflösen, können wir in eine weitere Formel ( A ) x
einsetzen und haben somit nur noch die Variable ( r ) )
--------> auf beiden Seiten - [ 2 * Pi * r ]
---> [ 4 * x ] = 10 - [ 2 * Pi * r ]
-----> auf beiden Seiten geteilt durch 4
----------> x = { 10 - [ 2 * Pi * r ] } / 4

Jetzt brauchen wir eine Formel für A
A = [ A ( Quadrat ) ] + [ A ( Kreis ) ]
A = [ x² ] + [ Pi * r² ]
----> hierfür können wir das eben ermittelte x einsetzen .

A = { [ 10 - ( 2 * Pi * r ) ]² / 4 } + ( Pi * r² )
---> (-20Pi*r)²/4 + ( Pir² )

Ist der Weg richtig, kann jemand fortsetzen ?

Jetzt ist die Frage, ob man dann das Minimum errrechnen kann .

Ich weiß, dass wenn man einfach A ausrechnet, kommt man auf das Minimum, aber kann man direkt und sicher dahin ?

18.02.2021, 15:21

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertprobleme
Willkommen im Matheboard!

Zitat:

Original von JonnyBoy84
x = { 10 - [ 2 * Pi * r ] } / 4
...
A = [ x² ] + [ Pi * r² ]

Bis hierhin passt alles.

Zitat:

Original von JonnyBoy84
A = { [ 10 - ( 2 * Pi * r ) ]² / 4 } + ( Pi * r² )
---> (-20Pi*r)²/4 + ( Pir² )

Die letzten zwei Schritte sind falsch. Zum einen muss das gesamte x quadriert werden, also

$\begin{eqnarray*} A = \left( \frac {10 - 2 \cdot \pi \cdot r}4 \right)^2 + \pi \cdot r^2 \end{eqnarray*}$

In der letzten Zeile hast Du dann noch das Minuszeichen beim Zusammenfassen übersehen. Versuch mal, die von mir korrigierte Gleichung zu vereinfachen. Schau Dir dazu auch mal unseren Formeleditor an.

Und danach muss A(r) abgeleitet werden, dann wird die Ableitung nullgesetzt und nach r aufgelöst.

Viele Grüße
Steffen

19.02.2021, 06:55

JonnyBoy84

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal neu gemacht
Ist das so richtig ?

19.02.2021, 07:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nochmal neu gemacht
Ich weiß jetzt nicht, warum du $\begin{eqnarray*} \frac{\pi^2}{4} \end{eqnarray*}$ in 2,4674011 auflöst. Das ist unnütz und mündet nur in einer Rechnung mit vielstelligen Dezimalzahlen führen, die ohnehin falsch sind.

Nehmen wir also mal die Funktion $\begin{eqnarray*} A(r) = (2,5 - \frac 1 2 \pi r)^2 + \pi r^2 = \frac{25}{4} - \frac 5 2 \pi r + \frac 1 4 \pi^2 r^2 + \pi r^2 \end{eqnarray*}$

Ein wenig umsortieren führt zu: $\begin{eqnarray*} A(r) = (\frac 1 4 \pi^2 + \pi) \cdot r^2 - \frac 5 2 \pi r + \frac{25}{4} \end{eqnarray*}$

Das läßt sich bequem ableiten, wo du ja auch einen Fehler eingebaut hast.

19.02.2021, 13:59

JonnyBoy84

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nochmal neu gemacht

Zitat:

Original von klarsoweit
Ein wenig umsortieren führt zu: $\begin{eqnarray*} A(r) = (\frac 1 4 \pi^2 + \pi) \cdot r^2 - \frac 5 2 \pi r + \frac{25}{4} \end{eqnarray*}$

Ich habe es von meiner Abweichung zu dieser Vorgabe gerechnet, dann habe ich es fortgesetzt.

Ist das jetzt richtig ?

19.02.2021, 14:13

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nochmal neu gemacht
Ich hab mir mal die Mühe gemacht, das durchzulesen. (Den Formeleditor habe ich schon erwähnt?)

$\begin{eqnarray*} r=\frac {2,5}{0,5 \pi +2} \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls korrekt, das Gekrakel drunter verstehe ich nicht.

Dann rechne noch x aus, schreib die passenden Längeneinheiten dazu und Du bist fertig.