Grenzwert mit Hilfe partieller Integration

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18.02.2021, 20:58	foufou	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit Hilfe partieller Integration Meine Frage: Sei f: [a,b] -> R eine stetig differenzierbare Funktion und g: R -> R, y -> Integral (b,a) f(x)sin(yx)dx. Zeigen Sie mit Hilfe partieller Integration dass lim (y-> inf) g(y) = 0 = lim (y-> - inf) g(y) gilt. Meine Ideen: Habe leider keinen blassen Schimmer, wäre lieb wenn jemand helfen könnte.
18.02.2021, 21:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{align} y \neq 0 \end{align}$ erhält man mittels partieller Integration: $\begin{align} g(y) = \int_a^b f(x) \sin(xy) ~ \dd x \ = \ \frac{1}{y} \left( f(a) \cos(ay) - f(b) \cos(by) + \int_a^b f'(x) \cos(xy) ~ \dd x \right) \end{align}$ Versuche, das zu verifizieren. Welche Folgerung kannst du für $\begin{align} y \to \pm \infty \end{align}$ ziehen?
18.02.2021, 22:15	Foufou	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr für die Antwort. Müsste ich dann den Grenzwert berechnen? Ich verstehe den Zusammenhang mit Limes nicht so ganz und weiss auch nicht wie ich weiter machen könnte.
18.02.2021, 22:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst die Funktion $\begin{align} g(y) \end{align}$ für $\begin{align} y \to \pm \infty \end{align}$ untersuchen und nachweisen, daß ihr Grenzwert 0 ist. Zum Nachweis beachte, daß der Cosinus beschränkt ist.
18.02.2021, 22:23	Foufou	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre das dann schon das Ergebnis?
18.02.2021, 22:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nur die empfohlene Umformung der Funktionsdefinition (hast du die Umformung nachvollzogen?). Aber mit ihrer Hilfe kannst du die gewünschte Schlußfolgerung ziehen. Du mußt nur sauber begründen.
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18.02.2021, 22:43	Foufou	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, die Umformung habe ich soweit verstanden. Eine Sache aber nicht. Wenn ich die Funktion g(y) für y -> +/- inf setze, was wären dann f(a) und f(b)? Mit denen kann man nicht auf den Grenzwert 0 kommen. Verstehe nicht so ganz wie man da vorgeht.
18.02.2021, 23:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} a \end{align}$ und $\begin{align} b \end{align}$ fungieren als Parameter und sind von $\begin{align} y \end{align}$ unabhängige Konstante. Du kannst dir vorstellen, $\begin{align} a \end{align}$ wäre -4 und $\begin{align} b \end{align}$ wäre 3. Und $\begin{align} f \end{align}$ ist eine im Kontext unveränderliche Funktion, zum Beispiel $\begin{align} f(x) = x^2 \end{align}$ . Dann wäre $\begin{align} g(y) = \int_{-4}^3 x^2 \sin(xy) ~ \dd x \ = \ \frac{1}{y} \left( 16 \cos(-4y) - 9 \cos(3y) + \int_{-4}^3 2x \cos(xy) \right) ~ \dd x \end{align}$ Das ist selbstverständlich nur ein Beispiel. Man kennt ja die Größen $\begin{align} a,b \end{align}$ und die Funktion $\begin{align} f \end{align}$ nicht näher. Aber sie spielen eine Rolle wie in diesem Beispiel.
19.02.2021, 08:28	Foufou	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr, jetzt ist es einleuchtend. Eine Frage hätte ich noch. Auf was sollte ich bei der Begründung achten bzw. wie sollte ich da am besten vorgehen?
19.02.2021, 08:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt begründen, warum der Ausdruck $\begin{align} B(y) = f(a) \cos(ay) - f(b) \cos(by) + \int_a^b f'(x) \cos(xy) ~ \dd x \end{align}$ in $\begin{align} y \end{align}$ beschränkt ist, also nachweisen, daß es eine Konstante $\begin{align} C>0 \end{align}$ gibt mit $\begin{align} \left\| B(y) \right\| \leq C \end{align}$ für alle $\begin{align} y \in \mathbb{R} \end{align}$ Dann kannst für $\begin{align} y>0 \end{align}$ folgendermaßen rechnen: $\begin{align} \left\| g(y) \right\| = \frac{1}{\|y\|} \cdot \left\| B(y) \right\| \leq \frac{1}{y} \cdot C \end{align}$ Weil nun wegen dem $\begin{align} \frac{1}{y} \end{align}$ der letzte Ausdruck gegen 0 strebt für $\begin{align} y \to \infty \end{align}$ , muß das der kleinere Ausdruck $\begin{align} \left\| g(y) \right\| \end{align}$ erst recht tun. Somit folgt: $\begin{align} g(y) \to 0 \end{align}$ für $\begin{align} y \to \infty \end{align}$ . Entsprechend argumentiert man für $\begin{align} y<0 \end{align}$ und $\begin{align} y \to - \infty \end{align}$ . Nun habe ich fast alles für dich erledigt, du solltest daher jetzt selbst tätig werden. Es bleibt ja der Nachweis der Beschränktheit von $\begin{align} B(y) \end{align}$ übrig. Werde also aktiv und laß mich nicht auch noch diesen Schritt für dich tun.
19.02.2021, 08:52	Foufou	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr für die Hilfe

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