Bevölkerungswachstum

19.02.2021, 11:02

Jaumsi

Bevölkerungswachstum

Meine Frage:
Hallo! Ich verzweifle gerade leider etwas an einer Matheaufgabe die wie folgt lautet:

Die Bevölkerung eines Landes wächst wie rechts tabelliert (1980 = 12,50 Mio; 1990 = 15,27 Mio; 2000 = 18,54; 2010 = 22,78 Mio, 2050 = ?)
a) Wie lautet die Wachstumsfunktion? (Ansatz mit e-Funktion)
b) Wie groß ist die Verdopplungsrate?
c) Wie groß ist die momentane Wachstumsrate zu Beginn des Jahres 2010? Wie groß ist die mittlere Wachstumsrate von 1980 bis 2010?
d) Wie lautet die Prognose für 2050?

Meine Ideen:
Ich hab bereits die Funktion mit K(t) = 12,50 * e^0,182*t aufgestellt, bin mir jedoch nicht sicher ob diese überhaupt stimmt.
Die Verdopplungszeit habe ich ebenfalls mit t = 3,8 ausgerechnet, kann mir jemand bitte bei dem Rest helfen bzw. mir meinen Frhler verbessern?

19.02.2021, 11:15

wachstum

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Zitat:

Ich hab bereits die Funktion mit K(t) = 12,50 * e^0,182*t aufgestellt

Mit welchen Punkten hast du denn da gearbeitet ?

Mit den ersten beiden Punkten erhält man etwa $\begin{eqnarray*} K(t)=12.5 \cdot e^{0.02 \cdot t} \end{eqnarray*}$

19.02.2021, 11:23

Jaumsi

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Zitat:

Original von wachstum

Mit den ersten beiden Punkten erhält man etwa $\begin{eqnarray*} K(t)=12.5 \cdot e^{0.02 \cdot t} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man denn darauf? Ich habe erst den Quotiententest angewendet und kam dann auf rund 1,2, logarithmiert habe ich dann 0,182 raus.

19.02.2021, 11:25

wachstum

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Zitat:

1980 = 12,50 Mio; 1990 = 15,27 Mio; 2000 = 18,54; 2010 = 22,78

Allein an den Zahlen für 1980 und 2010 siehst du doch schon, dass die Verdopplungszeit über 30 Jahren liegen muss.
Dein t=3,8 als Verdopplungszeit kann also nicht passen.

Löse einfach die Gleichung 25=12.5 \cdot e^{0.02 \cdot t}

19.02.2021, 11:27

wachstum

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$\begin{eqnarray*} 25=12.5 \cdot e^{0.02 \cdot t} \end{eqnarray*}$

19.02.2021, 11:39

wachstum

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Zitat:

Wie kommt man denn darauf?

Durch lösen der Gleichung $\begin{eqnarray*} 15.27 = 12.5 \cdot e^{k \cdot 10} \end{eqnarray*}$

Die anderen beiden Punkte liegen dann hier aber nicht so perfekt auf dem Graphen, wenn man nur die ersten zwei Punkte mit einbezieht.

Zitat:

Ich habe erst den Quotiententest angewendet und kam dann auf rund 1,2

Joa mal mehr mal weniger. Man könnte von den 3 Quotienten noch den Mittelwert bilden.
Und denk dran, dass du damit dann Zehnerschritte in deiner Funktion wählst.

Wie seid ihr denn im Unterricht vorgegangen oder steht da noch mehr in der Aufgabenstellung ?

Fakt ist, so ganz exakt wird das weder mit deiner noch mit meiner Methode - kann es auch nicht werden mehr man mehr Punkte als Unbekannte hat.

19.02.2021, 11:55

Jaumsi

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Das macht jetzt deutlich mehr Sinn, ich hab außer Acht gelassen dass es sich ja um Zehnerschritte handelt! Vielen Dank, ich konnte die Aufgaben jetzt alle beenden smile

19.02.2021, 12:47

wachstum

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Schön dass du es hinbekommen hast. Freude

19.02.2021, 13:36

HAL 9000

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Möglich wäre auch quasi-lineare Regression. "Quasi" deswegen, weil man zunächst den Ansatz $\begin{eqnarray*} K(t) = a\cdot e^{bt} \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in Jahren seit 1980) logarithmiert

$\begin{eqnarray*} \ln(K(t)) = \ln(a)+ bt \end{eqnarray*}$ ,

und die beiden Koeffizienten $\begin{eqnarray*} (\ln(a),b) \end{eqnarray*}$ aus linearer Regression auf den vier Datenpunkten $\begin{eqnarray*} (t,\ln(K(t)) \end{eqnarray*}$ gewinnt. Das ergibt hier $\begin{eqnarray*} \ln(a)\approx 2.5252 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a\approx 12.493 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b\approx 0.019945 \end{eqnarray*}$ .

D.h., das oben schon genannte $\begin{eqnarray*} K(t)\approx 12.5\cdot e^{0.02t} \end{eqnarray*}$ kann man guten Gewissens vertreten, auch wenn man in dieser Weise alle vier Punkte einbezieht. Das Bestimmtheitsmaß $\begin{eqnarray*} R^2\approx 0.999876 \end{eqnarray*}$ ist hier geradezu überragend gut. Augenzwinkern

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