Zeigen, dass Integral (b,a) f(x) dx > 0 ist.

19.02.2021, 11:46

Lynette1

Zeigen, dass Integral (b,a) f(x) dx > 0 ist.

Meine Frage:
Sei a < b und f: [a,b] -> R stetig mit f(x) >= 0 für alle x Element [a,b]. Außerdem existiert ein c Element [a,b] mit f(c) > 0.
Nun muss man zeigen, dass Integral (b,a) f(x)dx > 0 ist.

Ich denke dass man hier mit dem Zwischenwertsatz arbeiten muss, habe aber keinen Ansatz.

Meine Ideen:
Wäre über jede Hilfe dankbar.

19.02.2021, 12:11

HAL 9000

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Überlegen wir doch erstmal, warum man hier die Stetigkeit braucht: Wenn wir die Nullfunktion betrachten und nur an endlich vielen Stellen den Wert abändern (wie z.B. an der Stelle $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ wie vorausgesetzt), dann existiert das Riemannintegral und bleibt bei Integralwert 0. Es muss also damit zusammenhängen, dass bei stetigen Funktionen der Wert $\begin{eqnarray*} f(c)>0 \end{eqnarray*}$ die Funktionswerte in einer (wenn auch noch so kleinen Umgebung) ebenfalls ins positive "hebt". Das ist der Ansatzpunkt für den Beweis: Wir "schieben" ein kleines Rechteck mit positiver Länge und Breite zwischen Kurve und x-Achse in der Nähe von $\begin{eqnarray*} x=c \end{eqnarray*}$ .

Nach dieser saloppen Strategiebeschreibung hier die technisch saubere Ausführung. Ein paar kleinere Schwierigkeiten ergeben sich, weil $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ja auch am Rand liegen kann, d.h., $\begin{eqnarray*} c=a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c=b \end{eqnarray*}$ , wird ja nicht ausgeschlossen - das verlängert die Sache ein wenig:

Sei $\begin{eqnarray*} d:=f(c) \end{eqnarray*}$ , von dem wir $\begin{eqnarray*} d>0 \end{eqnarray*}$ wissen. Dann ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einer hinreichend klein gewählten $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zumindest $\begin{eqnarray*} \geq \frac{d}{2} \end{eqnarray*}$ , das folgt aus der Stetigkeit.

Im Detail: Die Stetigkeit sagt, es existiert für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \left|f(x)-f(c)\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (c-\delta,c+\delta)\cap [a,b] \end{eqnarray*}$ . Wir wählen nun speziell $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{d}{2} \end{eqnarray*}$ und verkleinern (falls nötig) $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ auch noch, so dass $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ ist. Nun wählen wir

1) im Fall $\begin{eqnarray*} c\leq \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ die Intervallgrenzen $\begin{eqnarray*} u = c \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v=c+\delta \end{eqnarray*}$
2) im Fall $\begin{eqnarray*} c>\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ die Intervallgrenzen $\begin{eqnarray*} u = c-\delta \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v=c \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} [u,v]\subseteq [a,b] \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f(x) > f(c)-\varepsilon = \frac{d}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in[u,v] \end{eqnarray*}$ , und es folgt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x \geq \int\limits_a^u 0 ~ \dd x + \int\limits_u^v \frac{d}{2} ~ \dd x + \int\limits_v^b 0 ~ \dd x = {\color{red}\frac{d\delta}{2}} > 0 \end{eqnarray*}$ .

19.02.2021, 14:20

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x \geq \int\limits_a^u 0 ~ \dd x + \int\limits_u^v \frac{d}{2} ~ \dd x + \int\limits_v^b 0 ~ \dd x = {\color{red}\frac{d\delta}{2}} > 0 \end{eqnarray*}$ .

Mir ist nicht klar, warum das erste und dritte Integral einen Null-Integranden besitzen. Die Voraussetzungen schließen meines Erachtens $\begin{align*} f(x)>0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \in [a,b] \end{align*}$ nicht aus. verwirrt

Ich würde folgendermaßen argumentieren:

Aus $\begin{align*} f(c)>0 \end{align*}$ folgt wegen der Stetigkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ die Existenz eines Intervalls $\begin{align*} [p,q] \end{align*}$ (mit $\begin{align*} p<q \end{align*}$ ), so daß gilt:

$\begin{align*} c \in [p,q] \subseteq [a,b] \end{align*}$ und $\begin{align*} f(x)>0 \ \ \mbox{für alle} \ \ x \in [p,q] \end{align*}$

Es folgt:

$\begin{align*} \int_a^b f(x) ~ \dd x \ = \ \underbrace{\int_a^p f(x) ~ \dd x}_{\geq 0} \ + \ \underbrace{\int_p^q f(x) ~ \dd x}_{>0} \ + \ \underbrace{\int_q^b f(x) ~ \dd x}_{\geq 0} \ > \ 0 \end{align*}$

19.02.2021, 14:36

Helferlein

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Zitat:

Original von Leopold
Mir ist nicht klar, warum das erste und dritte Integral einen Null-Integranden besitzen.

Und mir ist nicht klar, weshalb das der Abschätzung des Integrals nach unten widersprechen sollte.
Selbst wenn f überall positiv ist, ist das Integral auf diesen Teilintervallen doch trotzdem nicht-negativ.

19.02.2021, 16:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Helferlein
Und mir ist nicht klar, weshalb das der Abschätzung des Integrals nach unten widersprechen sollte.

Eben. Einer der seltenen Fälle, wo eine Leopold-Anmerkung komplett deplatziert ist.

19.02.2021, 16:28

Leopold

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Und ich habe eure Anmerkungen nicht verstanden, bis ich noch einmal nachgelesen habe:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x \color{red} \geq \color{black} \int\limits_a^u 0 ~ \dd x + \int\limits_u^v \frac{d}{2} ~ \dd x + \int\limits_v^b 0 ~ \dd x = \ldots \end{eqnarray*}$

Ich habe schlicht die Abschätzung übersehen und = gelesen. Damit ist alles geklärt und mein Einwand selbstverständlich hinfällig. Bleibt noch, daß mir HALs Beweis zu technisch ist. Aber das ist dann eher eine Geschmacksfrage.

19.02.2021, 16:35

HAL 9000

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Naja, bei deinem Beweis könnte ich auch fragen, wieso du das >0

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \underbrace{\int_p^q f(x) ~ \dd x}_{>0} \end{align*}$

hier einfach so ohne Begründung unterjubelst? Ja klar, kann man etwa draus folgern, dass die stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [p,q] ihr Minimum auch wirklich annimmt, und damit dieses Minimum echt >0 ist - sollte man an der Stelle dann zumindest erwähnen.

Ohne Stetigkeit ist immerhin zunächst denkbar, dass die Funktion zwar im gesamten Intervall >0 ist, das Infimum jedoch in jedem Teilintervall =0 ist, was die Riemann-Untersumme zu 0 macht. Das gilt es zu entkräften.

19.02.2021, 16:44

Leopold

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Es kommt natürlich immer darauf an, in welchem Stadium der Integralrechnung man ist. Sollten die ersten Hürden genommen sein, so halte ich

$\begin{align*} f: [a,b] \to \mathbb{R} \ \text{stetig mit} \ \ f(x) > 0 \ \ \mbox{für alle} \ \ x \in [a,b] \ \ \Rightarrow \ \ \int_a^b f(x) ~ \dd x > 0 \end{align*}$

für eine Selbstverständlichkeit. Mag sein, daß das hier noch nicht der Fall ist und einer Begründung bedarf. Dazu müßte sich Lynette1 äußern. (Und natürlich setze ich unausgesprochen $\begin{align*} a<b \end{align*}$ voraus. Augenzwinkern

)

19.02.2021, 16:59

HAL 9000

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Ja, und ich hatte es so gesehen, dass es eben gerade Thema dieses Threads ist, eine solche Selbstverständlichkeit nachzuweisen. Augenzwinkern

19.02.2021, 21:27

Leopold

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Ich frage mich inzwischen, inwieweit die Stetigkeit für die Aussage

$\begin{align*} f(x)>0 \ \ \mbox{für} \ \ x \in [a,b] \ \ \Rightarrow \ \ \int_a^b f(x) ~ \dd x \ > \ 0 \end{align*}$

erforderlich ist. Genügt es nicht, die Integrierbarkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ , sagen wir im Sinne von Lebesgue, zu fordern? Daß der Integralwert bei einer strikt positiven Funktion negativ ist, können wir ausschließen. Aber könnte er 0 sein? Irgendwie fehlt mir dazu die Vorstellungskraft. Andererseits weiß ich, daß die Maßtheorie gelegentlich die paradoxesten Phänomene bereithält, leider oft nur mit nichtkonstruktiven Beispielen. Vielleicht läßt sich das Ganze ja mit einem kleinen Lemma der Maßtheorie erledigen. Weiß jemand Bescheid?

20.02.2021, 09:28

laila49

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@leopold:

es gibt Dinge, die gibts gar nicht..
www.matheboard.de/thread.php?threadid=591515

da schüttele ich immer noch den kopf

20.02.2021, 11:54

IfindU

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@Leopold: Es genügt $\begin{eqnarray*} [a,b] = \bigcup_{k = 1}^\infty f^{-1} \left ( \left( \frac 1 k, \frac 1 {k-1} \right] \right) \end{eqnarray*}$ . Dann ist nach Sigma-Additivität

$\begin{eqnarray*} b-a = \sum_{k=1}^\infty \mathcal L\Bigg( f^{-1} \left ( \left( \frac 1 k, \frac 1 {k-1} \right] \right)\Bigg) \end{eqnarray*}$ .

Insb. muss mindestens eine der Urbilder positives Maß beinhalten. Damit kann man zeigen, dass das Integral positiv sein muss.

20.02.2021, 12:18

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Vielleicht läßt sich das Ganze ja mit einem kleinen Lemma der Maßtheorie erledigen.

Mit dem "Lemma von IFind4U" ist die Sache damit geklärt. Vielen Dank. Blumen

Manchmal freut man sich, wenn die Intuition doch nicht gänzlich versagt.

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