Punktprojektion

20.02.2021, 19:51	MaWie	Auf diesen Beitrag antworten »
Punktprojektion Meine Frage: Hallo zusammen, wahrscheinlich ist die folgende Frage sehr simpel zu beantworten und ich find einfach nicht den richtigen Ansatz. Frage lautet: Ist die Abbildung $\begin{eqnarray} R^2 -> R, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ linear? Wenn ja, wie lautet die Darstellendematrix? Meine Ideen: Ich kenn die Schritte und normalerweise sind diese auch kein Problem: Hier: Abgeschlossen unter Addition: $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x_{1} + x_{2} \\ y_{1}+y_{2}\end{pmatrix} = f\begin{pmatrix} y_{1}+y_{2} \\ -(x_{1} + x_{2}) \end{pmatrix} = f\begin{pmatrix} y_{1} \\ -x_{1} \end{pmatrix} + f\begin{pmatrix} y_{2} \\ -x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Abgeschlossen unter Multiplikation: $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} ax \\ ay \end{pmatrix} = f\begin{pmatrix} ay \\ a(-x) \end{pmatrix} = af\begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Versuch ich jetzt aber die Abbildungsmatrix aufzustellen, komm ich ins straucheln... Wie stelle ich diese auf, falls es sich nur um einen Punkt handelt? Sind meine obigen Schritte überhaupt richtig? Durch Ergänzung des Latex-Codes lesbar gemacht. klauss
20.02.2021, 20:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir fallen zunächst einige Schreibfehler auf. Als Zielraum hast Du IR angegeben, die Abbildung sieht aber einen zweidimensionalen Vektor im Bildraum vor. Dein Beweis beinhaltet zu oft die Funktion und ist daher in dieser Form nicht korrekt. Korrigiere das und wir können erneut über den Beweis reden. Die Abbildungsmatrix bzgl. der Einheitsvektoren erhältst Du aus den Bildern der Einheitsvektoren.
21.02.2021, 08:57	MaWie	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sorry erstmal, dass die Latex-Schreibweise nicht funktioniert hat, kann es noch nicht so gut. ich hab jetzt auch gemerkt, dass natürlich in den Zwischenschritten kein f hingehört... Und danke dir ich habe jetzt auch gemerkt, dass es natürlich kein Punkt ist und bei R^2->R^2 eine 2x2 Matrix ist! Dein Anstoß hat meinen Denkfehler eliminiert! Danke! Liebe Grüße
21.02.2021, 10:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Seien V und W K-Vektorräume. Satz: Die Darstellungsmatrix M einer linearen Abbildung f von V nach W bezüglich einer Basis B von V und einer Basis C von W enthält die Komponentenvektoren der Bilder f(b) der Basisvektoren b aus B als Linearkombination der Basisvektoren c aus C in den Spalten. Folgerung: Die Darstellungsmatrix M einer linearen Selbstabbildung f von V nach V bezüglich einer Basis B von V enthält die Komponentenvektoren der Bilder f(b) der Basisvektoren b aus B in den Spalten.

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