Extremwertberechnung mit Lagrange

21.02.2021, 10:14

optimierer

Extremwertberechnung mit Lagrange

Guten Tag !

Es geht um die schon oft gesehene Extremwertaufgabe über einen Baumstamm, aus dem ein quaderförmiger Balken mit möglichst großer Grundfläche $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2x \cdot 2y=4xy \end{eqnarray*}$ rausgeschnitten werden soll. Der Stammdurchmesser beträgt 100 cm, was einem Radius von 50 cm entspricht und zu der Nebenbedingung x²+y²=50² führt.

Die daraus resultierende Lagrangefunktion lautet daher bei mir $\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda)=4xy + \lambda \cdot (2500-x^2-y^2) \end{eqnarray*}$

Durch das Abarbeiten der notwendigen Bedingung, dass der Gradient Null werden muss, kam ich mit x>0 und y>0 auf die einzige Lösung $\begin{eqnarray*} E(25 \sqrt{2}|25 \sqrt{2}|2) \end{eqnarray*}$

Durch die positive Determinante der geränderten Hessematrix habe ich geschlossen, dass es sich um ein Maximum handeln muss.
Kann man auch ohne diese Determinante argumentieren, dass weil es nur genau einen möglichen Extrempunkt gab, hier auch ein Maximum liegen muss ?

Und nun zu meiner Hauptfrage :

Wenn man den Radius nun um 5 cm erhöht, zu welcher Änderung des Grundflächeninhaltes würde dies approximativ führen ?

Meine Idee ist, dass man hier den oben errechneten Lagrangemultiplikator $\begin{eqnarray*} \lambda=2 \end{eqnarray*}$ ins Spiel bringen kann :

Erhöht sich der Radius um 5 cm, dann ergibt sich statt x²+y²=2500 dieses Mal x²+y²=3025.
Bei einer Erhöhung der rechten Seite um 3025-2500=525, erhöht sich der Flächeninhalt approximativ um $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 525=1050 \end{eqnarray*}$ .

Ist das so korrekt oder habe ich das falsch verstanden ?

21.02.2021, 16:54

mYthos

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Bei deinem Ergebnis für y ist NICHT durch 2 zu dividieren.
------
Der Flächeninhalt erhöht sich nicht approximativ, sondern exakt um 1050 (!)

Das berechnet man besser so: Die Anderung des Radius beträgt (hier) 0,1 (10%), sodass der neue Radius 1,1 r beträgt. Die Fläche (A = 2r²) ist vom Quadrat des Radius abhängig.
Die neue Fläche A1 ändert sich dann mit dem Faktor 1,21, sie hat sich also um 0,21 (21%) erhöht. Die alte Fläche ist 2r² = 5000 (Flächeneinheiten).
Die absolute Änderung beträgt hiermit 5000*0,21 = 1050 (Flächeneinheiten)

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Zitat:

Original von optimierer
...
Kann man auch ohne diese Determinante argumentieren, dass weil es nur genau einen möglichen Extrempunkt gab, hier auch ein Maximum liegen muss ?
...

Nein. Der eine mögliche Extrempunkt könnte auch ein Minimum sein. Es steht ja nur fest, dass $\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ ist.
Ohne Determinante gibt es die experimentielle Methode: Man variiert x, y geringfügig sodass die damit berechneten Flächen in einer kleinen Umgebung der Extremwert-Fläche liegen.
Sind diese kleiner als 5000, so darf man auf ein - relatives (!) - Maximum schließen.

Es gibt auch die Möglichkeit der klassischen Extremwertberechnung und prüft dann mit dem Vorzeichen der 2. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = x \sqrt{2500 - x^2} \end{eqnarray*}$
....
$\begin{eqnarray*} f_1''(x_e=25 \sqrt 2) = -8x_e < 0 .. Max \end{eqnarray*}$

mY+

21.02.2021, 22:39

optimierer

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Zitat:

Bei deinem Ergebnis für y ist NICHT durch 2 zu dividieren.

Ich sehe gerade nicht, wo ich das getan haben soll.
Kannst du mir da auf die Sprünge helfen ?

Zitat:

Der Flächeninhalt erhöht sich nicht approximativ, sondern exakt um 1050 (!)

Stimmt, das sehe ich gerade auch.
Da man die Aufgabe zwingend mit dem Lagrangeverfahren lösen sollte, bot sich der Miteinbezug des Multiplikators $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ an.

Hast du eine Ahnung was dann mit "approximativer Berechnung der Flächeninhaltsänderung für r=55 cm" gemeint sein könnte - wie könnte man denn da sinnvoll annähern ?
Das einzige, was im Skript zur Approximation steht, ist, dass man Veränderungen einer Variablen durch die Ableitung annähern kann.

Mit der von dir vorgeschlagenen Flächenfunktion A(r)=2r² (ich habe mir das durch y=x und damit x²+x²=r² <=> x²=0,5r <=> 4x² = A = 2r² hergeleitet - hast du das auch so gemacht ? ) würde sich ja ebenso als exakte Flächenänderung A(55) - A(50) = 6050 - 5000 = 1050 ergeben.
Approximativ über die Ableitung A'(r)= 4r folgt zunächst A'(50)=200.
Wenn man also den Radius r=50 um 1 Einheit erhöhen würde, dann würde sich die Fläche um 200 Einheiten erhöhen.
Erhöhe ich den Radius r=50 um 5 Einheiten, dann hätte das eine Flächenerhöhung um 5*200=1000 Einheiten zur Folge.

Damit nähert man quasi den Sekantenanstieg $\begin{eqnarray*} m_s=\frac{\Delta A}{\Delta r}=210 \end{eqnarray*}$ in [50 ; 55] durch den Tangentenanstieg in r=50 mit $\begin{eqnarray*} m_t=A'(50)=200 \end{eqnarray*}$ an und erhält wie oben erwähnt mit $\begin{eqnarray*} 210 \cdot 5=1050 \end{eqnarray*}$ die exakte Erhöhung und mit $\begin{eqnarray*} 5 \cdot 200=1000 \end{eqnarray*}$ die approximative Erhöhung.

Macht das Sinn für die in der Aufgabe geforderte approximative Betrachtung ?

22.02.2021, 00:57

mYthos

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RE: Extremwertberechnung mit Lagrange

Zitat:

Original von optimierer
..., kam ich mit x>0 und y>0 auf die einzige Lösung $\begin{eqnarray*} E(25 \sqrt{2}|25 \sqrt{2}|2) \end{eqnarray*}$
...

Was macht die 2 beim y? Diese gehört dort nicht hin.
Edit: Ach, das soll kein Bruchstrich, sondern eine dritte Koordinaten sein? Wohl ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ damit gemeint, na ja, eine 3. Koordinate ist es aber nicht ...
---------
Es ist richtig, zur Approximation anstatt des Tangentenanstiegs die Steigung einer Sekante zu verwenden. Also den Differenzenquotienten anstatt des Differentialquotienten.
Sinnvoll ist dies allerdings nur in einer relativ kleinen Umgebung um die betrachtete Stelle, also soll die Abweichung beim x-Wert (von 50) verhältnismäßig klein sein.
Das ist sicher gewährleistet, wenn du den Radius von 50 cm auf 51 cm erhöhst.
Approximativ ergibt sich als relative Änderung (2*51² - 2500)/1 = (5202 - 5000)/1 = 202 cm²/cm, währenddessen die exakte Änderung 200 cm²/cm lautet, richtig.

Für das größere Intervall [50 cm; 55 cm] sollte der obige Wert NICHT übernommen, sondern die relative Änderung (Änderungsrate) neu berechnet werden.
Denn eine Änderung in einem kleinen Intervall bewirkt im Allgemeinen NICHT eine proportionale Änderung in einem angrenzenden größeren Intervall.

Stattdessen rechnet man von 50 cm auf 55 cm mit 2*55² - 5000 = 6050 - 5000 = 1050 cm²; jetzt folgt die Division durch die Intervalllänge 5 cm:
Der Differenzenquotient (relative Änderung) ist dann (anstatt 202) 1050/5 = 210 cm²/cm, dies ist ein approximativer Wert, exakt lautet dieser 4*55 = 220 cm²/cm

mY+

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