Bedingte Wahrscheinlichkeiten

22.02.2021, 12:56

Lazarusss

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Moin, ich habe Probleme mit einer Aufgabe, die eigentlich simpel aussieht.

"In einem Baumarkt stehen 10 unbeschriftete Schachteln, die gemischt kurze und lange Nägel enthalten. In den ersten zwei Schachteln sind 30% der Nägel kurz, in den nächsten drei Schachteln sind 60% der Nägel kurz und in den letzten fünf Schachteln sind 80% der Nägel kurz.

a) Bestimmen Sie die WSK, dass ein kurzer Nagel gezogen wird
b) Der gezogene Nagel sei lang. Mit welcher WSK stammt er aus der letzten Schachtel?"

Ideen:
a) Hier geht es soweit ich es erkenne noch nicht um bedingte WSK.
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{10} *0,3 + \frac{3}{10} * 0,6 +\frac{5}{10} *0,8 = 64% \end{eqnarray*}$

b) Hier fehlt mir irgendwie der Ansatz, auch wenn ich weiß dass es recht simpel sein wird.
Wir suchen P(A|B), also die WSK dass der Nagel aus der letzten Schachtel stammt, wenn gegeben ist, dass der Nagel lang ist.
B ist dann 1-P("Nagel ist kurz") = 0,36

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$
Hier stocke ich jetzt. A wäre ja eigentlich 0,1 da wir eine der 10 Schachteln betrachten. Das Ergebnis würde dann aber keinen Sinn ergeben und ich hätte die verschiedenen Verteilungen der Nägel gar nicht beachtet. Bin ich da bei der falschen Formel gelandet? Der Satz von Bayes kann es ja auch Mangel von gegebenen Infos auch nicht sein...

Mich ärgert ein wenig, dass die Aufgabe so simpel ist, ich aber nicht drauf komme... Über eine kleine Hilfe wäre ich sehr dankbar smile

22.02.2021, 13:45

HAL 9000

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Ok, bei b) wählst du die Ereignisbezeichnungen

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... Nagel ist aus letzter Schachtel
$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... Nagel ist lang

Aus a) weißt du bereits $\begin{eqnarray*} P(B)=1-0.64 = 0.36 \end{eqnarray*}$ . Und du kannst berechnen

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(B\mid A)\cdot P(A) = (1-0.8)\cdot 0.1 = 0.02 \end{eqnarray*}$ .

Fehlt nur noch das abschließende $\begin{eqnarray*} P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ .

22.02.2021, 13:45

G220221

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten
P(letzte Schachtel und lang)|P(lang)

Das lässt sich mit Bayes problemlos lösen. Setze ein!

Tipp: Baumdiagramm

22.02.2021, 14:09

Lazarusss

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(B\mid A)\cdot P(A) = (1-0.8)\cdot 0.1 = 0.02 \end{eqnarray*}$

Top, danke! Mein Denkfehler war, dass ich nicht auf $\begin{eqnarray*} P(B\mid A)= (1-0.8) \end{eqnarray*}$ kam. Der Rest liegt dann ja auf der Hand.

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