Spielstrategie in der JVA

22.02.2021, 15:13

Dopap

Spielstrategie in der JVA

Gefangener G und Wärter W haben am Samstag Nachmittag Freizeit und spielen :

G nimmt ein Kartenspiel für Ihn sichtbar in die Hand und legt nach und nach alle Karten verdeckt verdeckt aus.
Bei jeder Karte hat W nun die Wahl diese Karte umzudrehen oder unbesehen zu den anderen
schon abgelegten verdeckten Karten zu legen.
Ziel von G ist es das Pik Ass am Wärter vorbei zu "schmuggeln".
W darf ein einziges mal eine Karte umdrehen.
W gewinnt wenn er G erwischt, also das Pik As umgedreht hat, ansonsten Spieler G .

Nun nehmen wir an, dass G sich lange vorher schon Gedanken darüber gemacht hat, mit welcher Wahrscheinlichkeit
er das Pik As in jeder der Stufen N=32 bis N=1 ziehen wird.
G - und wir - wissen nicht was der Wärter spielen wird.
Eine Verhaltensstrategie = Entscheidungen aufgrund des Spielverlaufs ist nicht gestattet.
Eine reine oder gemischte Strategie ist vorher sozusagen beim Notar zu hinterlegen.
Eine gemischte Strategie ist hier nicht wie üblich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Summe 1 auf den
32 reinen Strategien in der Normalform, sondern jeder der
31 Stufen wird eine Wahrscheinlichkeit für Pik Ass $\begin{eqnarray*} \in [0,1) \end{eqnarray*}$ zugeordnet.
Einer Stufe muss aber die Wkt 1 zugeordnet sein, was implizit einem Spielende gleichkommt.

Das Spiel sieht in Normalform auf K-ter Stufe so aus
$\begin{eqnarray*} \Gamma_K:\qquad \begin{array}{|||c|c|c|}\hline \text{G}\bigg\backslash \text{W} & \text{W kontrolliert} & \lnot \text{(W kontrolliert)}\\\hline \text{ G spielt PikAss} & -1 & 1 \\ \text{G spielt Lusche} & 1 & \Gamma_{K-1}\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

Hier wird auch das logische Spielende ersichtlich. = G und/oder W entscheiden sich für "Aktion"

welche Strategie ist für G optimal ?

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$\begin{eqnarray*} \qquad \qquad \text{Teil II} \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Allerdings besteht die Gefahr von Unklarheiten im Regelwerk oder sonstwo, die man nicht alle von vorneherein
mit Worten beschreiben kann. Zudem ist eine unerwünschte Anpassung des Verhaltens nach
mehreren Spielen nicht ausgeschlossen. Deshalb möglichst einfach:

G schreibt auf seinem Laptop ein Programm, welches aus seinem
Vektor $\begin{eqnarray*} \vec G =[p_1,p_2,\cdots p_{32}]<br /> \end{eqnarray*}$ mit 31 Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} \in [0,1) \end{eqnarray*}$ und einem $\begin{eqnarray*} p_* =1 \end{eqnarray*}$ ,
in einer Zählschleife prüft, ob mit dem Rand-Befehl

$\begin{eqnarray*} \quad \color{blue}RAND \leq \vec G(\text{index})\quad \end{eqnarray*}$ wahr ist und diesen Index $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ festhält..

W bringt seinen eigenen $\begin{eqnarray*} \vec W=[q_1,q_2,\cdots,q_{32}] \end{eqnarray*}$ , von G ungelesen und mit denselben Regeln versehen als Daten ins Programm ein,
das denselben Lauf mit diesen Daten durchführt und dann dessen Index $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ liefert. $\begin{eqnarray*} \quad \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} I \neq J \end{eqnarray*}$ wahr, dann ist die Ausgabe $\begin{eqnarray*} \boxed{1} \end{eqnarray*}$ , sonst $\begin{eqnarray*} \boxed{0} \end{eqnarray*}$
Einem Programmdurchlauf entpricht der Realisation einer Indexvariablen

jeder kennt weder die andere Strategie noch den internen Verlauf sondern nur alle Ergebnis und kann vorläufig nicht reagieren.
Möglich, dass sich beide darauf turnusmäßog einigen werden, quasi updates ihrer Vektoren.

für welchen $\begin{eqnarray*} \vec G \end{eqnarray*}$ soll G sich entscheiden?
könnte man eventuell einen optimalen Vektor finden und diesen algebraisch begründen?

mMn ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ deutlich im Vorteil.

Die Frage der Fairness steht noch offen, aber $\begin{eqnarray*} G \, \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ haben sich auf die
Auszahlung von einer Flasche Bier für G gegenüber 2 Sixpacks für W geeinigt.
Mutig mutig...

24.02.2021, 11:04

Dopap

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wenn G sich nicht dumm anstellt hat er gute Chancen. Tendenziell muss er eine Treppen-Dichte finden deren
Maxima denen von W ausweicht. Für W gilt das Gegenteil.
Die $\begin{eqnarray*} p_i\, \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ sind bedingte Wahrscheinlichkeiten , nämlich die, dass der Weg bis dorthin überhaupt geschafft wurde
so zum Beispiel bei konstantem $\begin{eqnarray*} \,p_i=\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p^*(x)=(1-\mu)^{x-1}\cdot \mu \end{eqnarray*}$ , geometrische Dichte Variante B.

Bei z.B. der Wahl von $\begin{eqnarray*} p_i=\left(\frac {i}{32}\right)^3 \end{eqnarray*}$

ist die daraus folgende Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} p^*(x) \end{eqnarray*}$ der Dichte relativ gleichmäßig verteilt und er vermeidet damit eine Häufung.
W hat da wenig Chancen, auch bei sehr sehr zufällig genau demselben $\begin{eqnarray*} q_i=p_i \end{eqnarray*}$ nicht.
Der relative Umsatzanteil von G ist dann 0.35 Biere.
Konstante $\begin{eqnarray*} q_i=0.05 \end{eqnarray*}$ zum Beispiel liefern dann sogar $\begin{eqnarray*} \approx 0.7 \end{eqnarray*}$ Biere für G.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ selbst wenn Obiges $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ bekannt sein sollte ist es nicht so einfach für W
einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec W \end{eqnarray*}$ zu finden der ihn in die Gewinnzobe bringt.

Solange die Regeln nicht geändert, z.b. durch laufende Ausgabe der Indexe I und J zwecks
regelmäßigem "Einbau" für beide Spieler, ist für W auch mit Wette 1:12 nicht viel zu holen. Beweisen lässt sich das aber mMn nicht.
Diese Prozedur mit 2 x 32 Eingaben ist zu komplex. Die $\begin{eqnarray*} p_i,q_i \end{eqnarray*}$ sind ja frei wählbar.

Dieser G hat anscheinend doch mehr auf dem Kasten als vermutet.

Wenn das Spiel JVA-gerecht real mit 6 statt 32 Karten und sichtbar gespielt würde,
sähe das vermutlich schon ganz anders aus.

24.02.2021, 15:59

HAL 9000

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RE: Spielstrategie in der JVA

Zitat:

Original von Dopap
W darf ein einziges mal eine Karte umdrehen.
W gewinnt wenn er G erwischt, also das Pik As umgedreht hat, ansonsten Spieler G .

Krass ungleich gewichtetes Spiel, würde ich mal sagen. unglücklich

Wenn W nichts über die Strategie von G weiß, dann wählt er gleichverteilt eine der Karten 1-32 zum Aufdecken aus und gewinnt mit Wkt. 1/32 - übrigens ganz egal, welche Strategie G fährt: G kann in diesem Fall nichts, aber auch gar nichts "optimieren".

Zitat:

Original von Dopap
Eine gemischte Strategie ist hier nicht wie üblich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Summe 1 auf den
32 reinen Strategien in der Normalform, sondern jeder der
31 Stufen wird eine Wahrscheinlichkeit für Pik Ass $\begin{eqnarray*} \in [0,1) \end{eqnarray*}$ zugeordnet.
Einer Stufe muss aber die Wkt 1 zugeordnet sein, was implizit einem Spielende gleichkommt.

Dopapscher Wahrscheinlichkeitsbegriff, der sich über die lästigen Beschränkungen der Kolmogorowschen Axiome hinwegsetzt? Erstaunt1

Erläutere doch mal bitte, was das für "Wahrscheinlichkeiten" (?!) in Hinblick auf die originale Problemstellung sein sollen - ich verstehe es nicht.

EDIT: Womöglich soll $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ die BEDINGTE Wahrscheinlichkeit sein, Karte $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu wählen, unter der Bedingung, dass das bei den Karten 1 bis $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ noch nicht geschehen ist? Na toll, dann beschreibt man eben die der hier optimalen Minimax-Strategie (Gleichverteilung sowohl bei G wie bei W) zugeordneten Dopapschen bedingten Wahrscheinlichkeiten einfach mit $\begin{eqnarray*} p_k = \frac{1}{33-k} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Zitat:

Original von Dopap
Die Frage der Fairness steht noch offen, aber $\begin{eqnarray*} G \, \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ haben sich auf die
Auszahlung von einer Flasche Bier für G gegenüber 2 Sixpacks für W geeinigt.
Mutig mutig...

Da wäre W aber abgrundtief dumm, darauf einzugehen: Nicht 1:12, sondern 1:31 ist hier natürlich die faire Quote.

27.02.2021, 22:20

Dopap

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RE: Spielstrategie in der JVA
ich möchte als Gesetzesuntreuer nicht noch auf als flüchtig gelten.

Hier mal ein solches Exemplar ebenfalls als Strategie bezeichnet, ein passenderer Begriff fehlt noch:

$\begin{eqnarray*} \vec S= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&2&3&4&5&6&7&8&9 & 10 &11&12&13&14&15 &16\\ \hline 0&0&0&0&0&0.1&0.1&0.2&0.3966 &0.22&0.02&0.04 & \frac 17&0&0&0\\ \hline17&18& 19& 20&21&22& 23&24&25 &26&27&28&29&30&31&32\\ \hline 0&0&0.3&0& 0&0&0&0& 1.0 &0&0&0&0&0&0.20&0 \end{array} \end{eqnarray*}$

Allein das Programm als Bernouilli Variable entscheidet anhand der Parameter:
1. den beiden S-Vektor + 2. dem Programmverlauf.
wer gewonnen hat.

mit dem Edit wurde es klar:

Solche S-Vektoren zum Beispiel $\begin{eqnarray*} p_k=0.1,.\, k=1...31,\, p_{32}=1 \end{eqnarray*}$ oder das von dir erwähnte $\begin{eqnarray*} p_k=\frac{1}{33-k} \end{eqnarray*}$
dürfen natürlich auch als Zuordnung vorliegen.

Ja, das sind bedingte Wkts was dem Programm relativ egal ist.

Die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \vec G=p_k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec W=q_k \end{eqnarray*}$ scheint sinnig.

Die Umwandlung in eine echte Verteilung oder Treppendichte-Funktion mit Summe 1, passend für die Normalform, muss man bei chaotischen Strategien wohl dem Rechner überlassen.

Das von dir in Aussicht gestellte Ziel von einem gleichverteiltem $\begin{eqnarray*} p_k^*=\frac {1}{32} \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} p_k=\frac {1}{33-k} \end{eqnarray*}$ konnte von meinem TR bestätigt werden.
Bei der algebraischen Umrechnung in $\begin{eqnarray*} p_k^*=\frac {1}{32},\quad k=1,2,...,32 \end{eqnarray*}$
mittels
$\begin{eqnarray*} p_1^*=\frac {1}{32}, \quad p_{k=2,...,32}^*=\frac{1}{33-k}\cdot\prod_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{1}{33-j}\right) \stackrel{?}{=}\frac{1}{32} \end{eqnarray*}$

ist bei mir irgendwo der Wurm drin.

28.02.2021, 18:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Bei der algebraischen Umrechnung in $\begin{eqnarray*} p_k^*=\frac {1}{32},\quad k=1,2,...,32 \end{eqnarray*}$
mittels
$\begin{eqnarray*} p_1^*=\frac {1}{32}, \quad p_{k=2,...,32}^*=\frac{1}{33-k}\cdot\prod_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{1}{33-j}\right) \stackrel{?}{=}\frac{1}{32} \end{eqnarray*}$

ist bei mir irgendwo der Wurm drin.

Ich kann da kein schwieriges Problem sehen, da es mit Teleskopprodukt

$\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{1}{33-j}\right) = \prod_{j=1}^{k-1} \frac{32-j}{33-j} = \frac{32-(k-1)}{33-1} = \frac{33-k}{32} \end{eqnarray*}$

unmittelbar folgt.

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