Komplexe Zahlen, Argument, Quadranten

22.02.2021, 20:50

Minusstrom

Komplexe Zahlen, Argument, Quadranten

Meine Frage:
Hi,

beschäftige mich gerade mit ein paar Übungsaufgaben zu Komplexen Zahlen (reines Selbststudium). Klappt bisweilen gut, na ja, bin noch bei den Basics. Augenzwinkern

Jedoch beim Argument haperts, bzw. habe ich im Internet zwei Herangehensweisen gefunden, die jetzt für Verwirrung sorgen.

Nun zu meiner Frage: Was in einer Aufgabe -sofern es nicht in der Aufgabenstellung stehen sollte- signalisiert mir denn jetzt nach der einen und nicht nach der anderen Methode zu verfahren? Oder kann man sagen die eine ist der Standard bei Mathe und die andere wird eher in der E-Technik beim Wechselstrom verwendet?

Beispielaufgaben:
z = -8 - 13i //liegt also im 3. Quadrant, entweder +Pi oder -Pi (bzw. 180 °)
Phi = arctan(-13/-8) = laut Lösung: 180 ° + 58,4 ° = 238,4 ° //Hier wurde also die "1. Regel" angewandt

Habe mal spaßeshalber in C einen kleinen Rechner geschrieben, atan2 nimmt aber die "2. Regel" und kommt somit auf eine negative Zahl!

z = 5 - 5i //liegt also im 4. Quadrant, entweder +2Pi (+360 °) oder nix
Phi = arctan(-5/5) = laut Lösung: -45 ° //Weshalb wurde hier jetzt die "2. Regel" angewandt?

atan2 stimmt hier überein.

In meiner Sammlung an Fachliteratur steht einfach nur:
z = a + bi
Phi = arctan(b/a)
Auf Pi, Quadranten oder Intervalle wird nie eingegangen.

schon mal vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Man muss ja die Quadranten beachten und dann ggf. mit Pi hantieren. Hier unterscheiden sich die Regeln:
- 1. Regel: 1. Quadrant nichts weiter machen; 2. und 3. +Pi; 4. +2Pi //Intervall [0, 2Pi)
- 2. Regel: 1. und 4. Quadrant nichts weiter machen; 2. +Pi; 3. -Pi //Intervall (-Pi, Pi]

22.02.2021, 23:13

HAL 9000

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Die Regel ist ganz einfach, dass atan2 den korrekten Argumentwinkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ liefert. Wenn du ihn unbedingt im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ haben willst, dann musst du im Fall $\begin{eqnarray*} \varphi<0 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \varphi+2\pi \end{eqnarray*}$ nehmen.

Mit $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ statt atan2 ist die Aufsplittung allerdings schlimmer: [WS] Komplexe Zahlen

23.02.2021, 17:54

Minusstrom

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Hey,

danke für deine Antwort, okay, stellen wir das Programmieren mal hinten an. Big Laugh

Habe eben quick and dirty mit AutoCAD etwas kleines skizziert.
Zum einen, einen Überblick zu den Quadranten und des Weiteren meine beiden Beispielaufgaben eingezeichnet in ein kartesisches Koordinatensystem. Dabei sieht man, dass beide Methoden auf das grafisch gleiche hinauslaufen nur die Bezugsrichtungen des Winkels eine andere ist?
Wäre für z. B.: z = -8-13i beides also Phi = -122 ° UND Phi = 238 ° richtig oder NUR EINES und das andere aber nicht ganz falsch? Aber ein Matheprofessor/-lehrer will doch immer nur ein eindeutiges Ergebnis.

Auch ist immer noch unklar, weshalb das Aufgabenbuch scheinbar springt!? Und wie ich bei zukünftigen Aufgaben verfahre. Vorallem wenn -wie hier- verschwiegen wird welches Intervall.

Zitat:

Original von HAL 9000
...Wenn du ihn unbedingt im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ haben willst, dann musst du...

Also ist (-Pi, Pi] übergreifend oder bezog sich dies jetzt nur auf atan2?

[attach]52779[/attach]

23.02.2021, 18:23

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Minusstrom
Wäre für z. B.: z = -8-13i beides also Phi = -122 ° UND Phi = 238 ° richtig oder NUR EINES und das andere aber nicht ganz falsch?

Ersteres. Beide Winkel von z sind richtig, denn wenn man z von Polar- in kartesische Koordinaten zurückrechnet, ergibt sich ja dasselbe.

Zitat:

Original von Minusstrom
Also ist (-Pi, Pi] übergreifend oder bezog sich dies jetzt nur auf atan2?

Letzteres. Allgemein gibt es da meines Wissens keine Konvention. Ich persönlich würde zum Beispiel nur positive Winkel bevorzugen.

Viele Grüße
Steffen

23.02.2021, 18:32

HAL 9000

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Nun, der Bereich $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ passt genau zum komplexen Logarithmus, genauer gesagt dessen Hauptwert, d.h., es ist

$\begin{eqnarray*} \ln(x+iy) = \ln\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) + i\cdot \operatorname{atan2}(y,x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x+iy\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

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