Negative Binomialverteilung - ML Schätzer

23.02.2021, 16:23

yellowman

Negative Binomialverteilung - ML Schätzer

Hallo zusammen, ich habe noch eine Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} Q_p=B^-_{(2,p)} \end{eqnarray*}$ die negative Binomialverteilung auf $\begin{eqnarray*} S=\{k\in\mathbb N:k\geq 2\} \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} Q_p\{k\}=(k-1)p^2(1-p)^{k-2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in S \end{eqnarray*}$ .
Berechne einen ML Schätzer zum Stichprobenumfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p\in(0,1] \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Maximum Likelohood Funktion: $\begin{eqnarray*} L(p)=\Pi_{i=1}^{n}Q_p{k}=\Pi_{i_1}^{n}(k_i-1)p^2(1-p)^{k_i-2} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich logarithmiert:

$\begin{eqnarray*} \ln(L(p))=\sum_{i=1}^{n}\ln((k_i-1)p^2(1-p)^{k_i-2}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich den Logarithmus hoffentlich richtig weiter vereinfacht habe erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \ln(L(p))=\sum_{i=1}^n\ln(k_i-1)+2\ln(p)+(k_i-2)\ln(1-p) \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich differenziert:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dp}\ln(L(p))=\sum_{i=1}^n\frac{2}{p}+\frac{2-k_i}{1-p}=\frac{2n}{p}+\frac{2n}{1-p}-\sum_{i=1}^n\frac{k_i}{1-p} \end{eqnarray*}$

Passt das erstmal soweit? Im nächsten Schritt müsste ich dann die Nullstellen bestimmen. Wie mache ich denn da weiter falls das soweit richtig ist?

Dankeschön smile

24.02.2021, 18:29

yellowman

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negative Binomialverteilung - ML Schätzer
Ich habe an der Aufgabe nochmal weiter rumprobiert. Ich habe mir erstmal $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^nk_i=n\bar{x} \end{eqnarray*}$ definiert als Mittelwert definiert.
Dann erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dp}\ln(L(p))=\frac{2n}{p}+\frac{2n}{1-p}-\frac{1}{p}n\bar{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt die notwendige Bendingung $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dp}\ln(L(p))=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{p}+\frac{2n}{1-p}-\frac{1}{p}n\bar{x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2n(1-p)+2np-n\bar{x}(1-p)}{p(1-p)}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2n(1-p)+2np-n\bar{x}(1-p)=0 \end{eqnarray*}$

Aufgelöst nach $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ erhalte ich: $\begin{eqnarray*} p=-\frac{2}{\bar{x}}=-\frac{2}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nk_i} \end{eqnarray*}$

Passt das?

Danke! smile

24.02.2021, 19:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von yellowman
Dann erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dp}\ln(L(p))=\frac{2n}{p}+\frac{2n}{1-p}-\frac{1}{p}n\bar{x} \end{eqnarray*}$

Seltsamer Übertragungsfehler. Wenn du von der letzten richtigen Gleichung im Beitrag davor ausgehst, kommst du zu

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dp}\ln(L(p))=\frac{2n}{p}+\frac{2n}{1-p}-\frac{1}{{\color{red}1-p}}n\bar{x} \end{eqnarray*}$ .

Dank eines weiteren Umformungsfehlers wird dieser Fehler fast wieder aufgehoben - aber nur fast:

Richtig ist Endergebnis $\begin{eqnarray*} \hat{p} = \frac{2}{\bar{x}} \end{eqnarray*}$ .

26.02.2021, 07:42

yellowman

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe, jetzt habe ich es! Gott

Neue Frage »

Antworten »

Negative Binomialverteilung - ML Schätzer

Verwandte Themen