Lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten |
| 23.02.2021, 23:46 | BenDD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten Folgende Aufgabe soll ich im Mathe-Unterricht der 6. Klasse lösen: Ein Herr hat 90 Hörige. Sie sollen 90 Scheffel Getreide bekommen, und zwar so, dass die Männer (M) je drei, die Frauen (F) je zwei, die Kinder (K) je einen halben Scheffel erhalten. Wie viele Männer, Frauen und Kinder befanden sich unter den 90 Hörigen? Meine Ideen: Ich dachte, ich hätte hier ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten. Um dieses lösen zu können, bräuchte ich allerdings auch 3 Gleichungen. Leider finde ich nur 2 Gleichungen in der Aufgabe und zwar die folgenden: I. 90 = M + F + K II. 90 = 3M + 2F + 1/2K Wenn ich die erste Gleichung nach M umstelle und in die zweite Gleichung einsetze, bekomme ich folgende Teillösung: 90 = 3(90-F-K)+2F+1/2K 90 = 270-3F-3K+2F+1/2K 90 = 270-F-5/2K F = 180-5/2K Auf dieser Grundlage habe ich dann in einem Excelsheet ein wenig "rumprobiert" und kam dann auch auf eine mögliche Lösung mit M = 9, F = 15 und K = 66. Meine Fragen sind die folgenden: - Gibt es eine eindeutige Lösung für dieses Gleichungssystem? Eigentlich sind ja nur 2 Gleichung mit 3 Unbekannten gegeben. Auf verschiedenen Webseiten habe ich gelesen, dass es in diesem Fall keine eindeutige Lösung gibt, sondern vielmehr eine Lösungsmenge, die sich aus der Schnittmenge der beiden Ebenengleichungen ergeben. - Habe ich in der Aufgabe noch irgendeinen Hinweis überlesen, mit dem ich doch noch eine dritte Gleichung aufstellen kann? Vielen Dank für Eure Hilfe! Ben |
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| 24.02.2021, 03:12 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten
Nun es sind nicht 2 Ebenen es sind nur ganzzahlige Punkte darauf. da gewisse Voraussetzungen gelten: 1. Die Lösung(en) sind ganzzahlig und nicht negativ. das heißt, deine Lösungsgerade hat nur gerade K als Definitionsmenge zudem gilt es als gültige Zielmenge zu beachten. da ist ein Probieren durchaus angesagt. Eventuell gibt es weitere Lösungen die aber aus anderen Gründen nicht gelten. Ich denke da an 90 Kinder, keine Männer, keine Frauen 
--------------------------------------------------------------------------------------------- EDIT: 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten sind auch ohne Zahleinschränkung kein Garant für genau eine Lösung. Man kann das genau festlegen und sagen: Genau dann wenn der Rang der erweiterten Matrix gleich dem der Matrix und gleich 3 ist. Falls du es genau wissen möchtest 
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| 24.02.2021, 09:24 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da es sich um Anzahlen von Personen handelt, sind eventuelle Lösungen ganzzahlig und größer oder gleich Null. Ein Gleichungssystem. dessen Lösungsraum nur aus ganzzahligen Elementen (in ) besteht, wird - nach dem griechischen Mathematiker Diophantos - ein diophantisches Gleichungssystem genannt. Die fehlende 3. Gleichung ist hier durch die Bedingung gegeben. Ich führe hier den im Schulbereich klassischen Lösungsweg für diesen Typ vor: Das System lautet also: x + y + z = 90 3x + 2y + z/2 = 90 ------------------------ x, y, z und alle In geometrischer Ansicht handelt es sich durchaus um zwei Ebenen, auf deren Schnittgerade Punkte mit ganzzahligen Koordinaten zu bestimmen sind. Nach Elimination von z ergibt sich 5x + 3y = 90 Diese Gleichung hat einen Freiheitsgrad von 1, also eine Variable kann durch einen (ganzzahligen) Parameter (t) ersetzt werden. Setze y = 5t, mit (Der Term in t wird so gewählt, dass nach Möglichkeit keine Brüche entstehen!) Eingesetzt in das System ergibt sich x = 18 - 3t = 3(6 - t) y = 5t z = 72 - 2t = 2 (36 - t) Damit gibt es eine weitere Einschränkung für t, nämlich Nun gibt es 7 Lösungstripel, eines davon ist (für t = 3) gleich (9, 15, 66) Die anderen 6 können durch Variation von t in dem bestimmten Bereich ebenso ermittelt werden. Anmerkung: Es kann durchaus auch sein, dass es in solchen Anordnungen keine ganzzahlige Lösung gibt mY+ |
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| 24.02.2021, 10:19 | BenDD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vielen Dank! Hallo Doppap, hallo mYthos, vielen herzlichen Dank für Eure schnelle Unterstützung und Hilfe! Eure Erklärungen haben mir sehr weitergeholfen. Vor allem war es für mich beruhigend zu sehen, dass ich mit meiner laienhaften Art und Weise doch nicht ganz "daneben" lag :-) Zwischenzeitlich habe ich noch einmal im Netz quergelesen und zum Ursprung der Aufgabe herausgefunden, dass diese Teil des "Propostiones ad acuendos iuvenes" ist. Findet man mittels Google unter den Stichworten Getreideteilung Spektrum Rätsel (ich werde mich jetzt doch einmal registrieren, damit ich auch einen Link posten kann :-) ) Euch einen schönen Tag und beste Grüße aus Dresden! Ben |
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| 24.02.2021, 10:55 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Vielen Dank! Eine gute Seite für diophantische Gleichungen findet sich übrigens auch hier. Wenn man die Gleichung 8x+6y+3z=360 eingibt (mYthos' Gleichungen addiert), ergibt sich mit Erklärungen das Lösungsschema x = 3c y = a z = 120 - 2a - 8c Mit a=15 und c=3 ergibt sich Deine Lösung. Viele Grüße Steffen |
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| 24.02.2021, 13:44 | BenDD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Vielen Dank! Hallo Steffen, auch Dir vielen Dank für den Hinweis auf die Web-Ressource! 
BG Ben |
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| 24.02.2021, 15:01 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Vielen Dank! Keine Ursache - und herzlich willkommen im Matheboard! Viele Grüße Steffen |
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