Charakteristisches Polynom

25.02.2021, 10:18	Octenisan	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom Meine Frage: Hallo zusammen, ich bereite mich aktuell auf meine wegen der Pandemie aufgeschobene LA1-Klausur vor, mithilfe von Altklausuren und ich habe eine Frage zu einer Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{3x3}, \chi_A\left ( x \right ) = x^3-3x^2+2x \end{eqnarray}$ Beweise oder widerlege: A diagonalisierbar und rang(A) = 2 Meine Ideen: Mir ist natürlich aufgefallen, dass das angegebene charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und "A drei vers. EW hat". Allerdings habe ich mir dann das charakteristische Polynom genauer angeschaut und festgestellt, dass vor dem $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ doch ein Minus stehen müsste, da die höchste Potenz im charakteristische Polynom ungerade ist, da $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{3x3} \end{eqnarray}$ . Daraus folger ich, dass so eine Matrix A, mit so einem charakteristische Polynom nicht existiert (als "Gegenbeispiel") Liege ich da richtig?
25.02.2021, 10:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt Autoren, die definieren das charakteristische Polynom so, daß der Leitkoeffizient $\begin{align} (-1)^n \end{align}$ ist, andere so, daß er 1 ist. Eigentlich kommt es im Ring $\begin{align} \mathbb{R}[x] \end{align}$ auf Einheiten als Faktoren nicht an. Man könnte das charakteristische Polynom daher auch mit einer Konstanten $\begin{align} \neq 0 \end{align}$ durchmultiplizieren. Mit anderen Worten: Gehe davon aus, daß das ein korrektes charakteristisches Polynom ist.
25.02.2021, 10:44	Octenisan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann gehe ich mal davon aus, dass so eine Matrix existiert. Wie erwähnt, zerfällt das charakteristischem Polynom in die Linearfaktoren $\begin{eqnarray} x \cdot \left ( x-1 \right ) \cdot \left ( x-2 \right ) \end{eqnarray}$ . A hat also die EW $\begin{eqnarray} x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 2 \end{eqnarray}$ , wobei jeder EW die algebraische Vielfachheit gleich 1 hat. Daher gilt $\begin{eqnarray} Eig\left ( A;\lambda_i \right ) = Hau\left ( A;\lambda_i \right ) \forall i \in \left \{ 1,2,3 \right \} \end{eqnarray}$ . Daraus wiederum folgt, dass A diagonalisierbar ist. Oder $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 = Eig\left ( A;\lambda_1 \right ) \oplus Eig\left ( A;\lambda_2 \right ) \oplus Eig\left ( A;\lambda_3 \right ) \end{eqnarray}$ => A diagonalisierbar. Das heißt man kann A auf Diagonalform bringen. Da A aber nunmal 0 als EW hat, hat A automatisch eine Nullzeile und somit ist rang(A) = 2. Kann man so argumentieren?
25.02.2021, 13:10	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich ist das ok.
25.02.2021, 14:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast okay, bis auf den letzten Schluß. Man kann A diagonalisieren, und die Diagonalmatrix D hat wegen des einfachen Eigenwerts 0 genau eine Nullzeile, also den Rang 2. Wegen rg(A)=rg(D)=2 hat A Rang 2.
25.02.2021, 16:19	Octenisan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Ergänzung, die Einfachheit des EW's und besonders rang(D) = rang(A) muss natürlich noch erwähnt werden! Danke an alle Beteiligten!
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