Zähldichte Verteilung

27.02.2021, 09:34

yellowman

Zähldichte Verteilung

Hallo zusammen, ich stehe mal wieder auf dem Schlauch und benötige Hilfe.
Meine Aufgabe lautet:

Es sei $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Paramerer $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ .
Bestimme die Zähldichte der Verteilung von $\begin{eqnarray*} \lfloor Z\rfloor \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lfloor Z\rfloor=\max\{k\in\mathbb Z:k\leq Z\} \end{eqnarray*}$ die Gaußklammer von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Idee:

Für die Exponentialverteilung gilt erstmal $\begin{eqnarray*} F(x)=1-\lambda e^{-\lambda x}\cdot 1_{[0,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ erhält man also: $\begin{eqnarray*} F(x)=1-e^{-x}\cdot 1_{(0,\infty]}(x) \end{eqnarray*}$

Für die Zähldicht gilt außerdem noch $\begin{eqnarray*} \sum_{w\in\Omega} f(w)=1 \end{eqnarray*}$

Wie soll ich hier weiter machen? Bin da ziemlich überfragt ...

LG smile

27.02.2021, 09:44

HAL 9000

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Ok, sei $\begin{eqnarray*} Y=\lfloor Z\rfloor \end{eqnarray*}$ . Zur Bestimmung der Zähldichte $\begin{eqnarray*} P(Y=k) \end{eqnarray*}$ musst du doch nur das Ereignis $\begin{eqnarray*} \{Y=k\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ausdrücken, und dann die entsprechende Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Und das ist einfach $\begin{eqnarray*} \{Y=k\}=\{k\leq Z < k+1\} \end{eqnarray*}$ , folglich gilt

$\begin{eqnarray*} P(Y=k) = P(k\leq Z<k+1) = F_Z(k+1)-F_Z(k) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Speziell für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ kannst du dafür dann $\begin{eqnarray*} F_Z(k)=1-e^{-\lambda k} \end{eqnarray*}$ einsetzen.

28.02.2021, 09:40

yellowman

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Danke Hal, eigentlich super easy Freude

Vielen Dank smile

28.02.2021, 09:52

HAL 9000

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Nun, wir sind noch nicht ganz fertig: Die entstehende Verteilung ist nämlich eine bekannte diskrete Standardverteilung - welche ist das, und mit welchem Parameter?

Zitat:

Original von yellowman
Für die Exponentialverteilung gilt erstmal $\begin{eqnarray*} F(x)=1-\lambda e^{-\lambda x}\cdot 1_{[0,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$

Das hatte ich übrigens beim ersten Durchlesen übersehen - hier ist ein Fehler drin: Richtig ist stattdessen

$\begin{eqnarray*} F(x)=\left(1-e^{-\lambda x}\right)\cdot 1_{[0,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$ .

28.02.2021, 09:57

yellowman

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Ich habe dann folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} P(\lfloor Z\rfloor=k)=e^{-k}-e^{-(k+1)} \end{eqnarray*}$

Hat die Verteilung einen Namen? Im Aufgabenteil b) sollte ich auch noch den Erwartungswert bestimmen. Das habe ich denke selber hinbekommen. Da erhalte ich $\begin{eqnarray*} E(\lfloor Z\rfloor)=\frac{1}{e-1} \end{eqnarray*}$

Dankeschön Gott

28.02.2021, 10:03

HAL 9000

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Ich rechne mal mit allgemeinem $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ weiter (kannst ja speziell $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ einsetzen, wenn du willst):

$\begin{eqnarray*} P(Y=k) = 1-e^{-\lambda (k+1)}-1+e^{-\lambda k} = e^{-\lambda k}\left(1-e^{-\lambda}\right) \end{eqnarray*}$

Das ist die Geometrische Verteilung (Variante B) mit Parameter $\begin{eqnarray*} p = 1-e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von yellowman
Da erhalte ich $\begin{eqnarray*} E(\lfloor Z\rfloor)=\frac{1}{e-1} \end{eqnarray*}$

Ja, ist für $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ richtig. Ergibt sich natürlich auch über die o.g. geometrische Verteilung.

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