Summe von Quadratzahlen

27.02.2021, 18:27

summierer

Summe von Quadratzahlen

Guten Abend

Ich möchte gerne die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen herleiten, also den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$
Dabei will ich aber nicht den Weg über die vollständige Induktion oder geometrische Betrachtungen gehen.

Mir schwebt vor die Formel durch ein Polynom 3. Grades mit den Punkten (1|1),(2|5),(3|14) und (4|30) zu bestätigen.
Jedoch muss ich ja dann auch irgendwie schlüssig argumentieren, warum gerade ein solches Polynom hier zum Ziel führt.

Wenn ich mir das richtig erlesen habe, dann hat das mit den Differenzen benachbarter Summenglieder zu tun.

Bei der Summe 1²+2²+3²+4²+5²+...+n² sieht man , dass die Differenzen hier 3,5,7,9,... usw sind, also die ungeraden Zahlen ab 3.
Das liegt wegen n² - (n-1)² = 2n-1 ja auch nahe.

Betrachtet man von diesen Differenzen (also den benachbarten ungeraden Zahlen) wiederum die Differenzen, so sind diese alle konstant 2, was ebenso wegen 2(n+1) - 1 - (2n -1) = 2 einleuchtet.

Wie aber kann ich das (auf Schulniveau) nutzen, um das oben erwähnte Polynom 3. Grades zu rechtfertigen ?
Oder bin ich auf dem falschen Weg und es gibt einen anderen Zugang ?

Bin gespannt auf eure Ideen.

27.02.2021, 18:38

Helferlein

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Die dritte Ableitung eines Polynoms dritten Grades ist konstant.

27.02.2021, 18:44

klauss

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RE: Summe von Quadratzahlen
In Kenntnis der Formel für die ersten n natürlichen Zahlen kann man die Formel für die ersten n Quadratzahlen z. B. unter Verwendung der Summe der ersten n Kuben herleiten (deren Formel man erst recht noch nicht kennt und auch nicht zu kennen braucht).
Kann natürlich sein, dass es auch anders geht, aber ich finde das auf jeden Fall interessant.

27.02.2021, 18:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von summierer
Jedoch muss ich ja dann auch irgendwie schlüssig argumentieren, warum gerade ein solches Polynom hier zum Ziel führt.

Du kannst auch so argumentieren: Angenommen, die Partialsumme $\begin{eqnarray*} S(n) = \sum_{k=1}^n k^2 \end{eqnarray*}$ ist als Kubisches Polynom darstellbar, d.h., wir verwenden Ansatz $\begin{eqnarray*} S(n) = an^3+bn^2+cn+d \end{eqnarray*}$ .

Dann muss für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ notwendig gelten

$\begin{eqnarray*} n^2\stackrel{!}{=} S(n)-S(n-1) = an^3+bn^2+cn+d - a(n-1)^3-b(n-1)^2-c(n-1)-d\qquad (*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\stackrel{!}{=} (3a-1)n^2+(-3a+2b)n+a-b+c \end{eqnarray*}$ .

Per Koeffizientenvergleich bedeutet das $\begin{eqnarray*} 3a-1=-3a+2b=a-b+c=0 \end{eqnarray*}$ , was zu $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ führt. Aus $\begin{eqnarray*} S(0)=0 \end{eqnarray*}$ folgt schließlich noch $\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$ .

Logisch wird allerdings umgekehrt ein Schuh draus: Wir haben die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ so berechnet, dass die Summenformel für $\begin{eqnarray*} S(0) \end{eqnarray*}$ stimmt, und per (*) alle Differenzen $\begin{eqnarray*} S(n)-S(n-1) \end{eqnarray*}$ "richtig" sind. Damit ist (per Vollständiger Induktion) auch klar, dass die Summenformel für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt. Augenzwinkern

27.02.2021, 20:19

summierer

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@ HAL 9000

Schöner Lösungsweg wie ich finde. Kann ich gut nachvollziehen, danke. Freude

@ Helferlein

Magst du deinen Gedanken zur konstanten, dritten Ableitung noch etwas ausführen ?
Ich sehe noch nicht, wo genau ich das nutzen kann.

27.02.2021, 21:04

Leopold

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siehe auch hier

28.02.2021, 20:43

Helferlein

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Zitat:

Original von Helferlein
Die dritte Ableitung eines Polynoms dritten Grades ist konstant.

Das Verfahren, was Du beschreibst, nennt sich dividierte Differenzen. Wird dieses für n+1 Stützstellen angewendet, so entspricht der erhaltene Wert der n-ten Ableitung an einer bestimmten Stelle. Es zeigt sich, dass der erhaltene Wert in deinem Fall unabhängig von der Wahl der Stützstellen ist, folglich ist die n-te Ableitung konstant.

Bei dem Beispiel mit der Quadratsumme haben wir im ersten Schritt die Quadrate als Differenz (4/9/16/25), im zweiten Schritt ungerade Zahlen (5/7/9) und im dritten Schritt die Konstante 2. Das bedeutet, dass die dritte Ableitung konstant $\begin{eqnarray*} \frac 2{3!}= \frac 13 \end{eqnarray*}$ ist. Durch Integration lässt sich daraus schließen, dass das Ausgangpolynom also ein Polynom dritten Grades mit Leitkoeffiziente $\begin{eqnarray*} \frac 13 \end{eqnarray*}$ sein muss.

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