Notwendige Kriterien, damit aus Konvergenz aus Verteilung eine Abschätzung für die Dichte folgt?

27.02.2021, 19:16	TorstenPB	Auf diesen Beitrag antworten »
Notwendige Kriterien, damit aus Konvergenz aus Verteilung eine Abschätzung für die Dichte folgt? Hallo und guten Abend. Welche zusätzlichen Kriterien sind notwendig, dammit aus Konvergenz in Verteilung abschätzungen für die Dichtefunktionen möglich sind? Konkrete Situation: Ich habe eine Familie von Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ mit Dichtefunktionen $\begin{eqnarray} \mu_n \end{eqnarray}$ und Charakteristischen Funktionen $\begin{eqnarray} \varphi_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n=\varphi \end{eqnarray}$ . Bekanntlich konvergiert $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ in Verteilung gegene eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , deren charakteristische Funktion durch $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ gegeben ist. Unter welchen Bedingungen ist es möglich, die Dichte von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \mu_n \end{eqnarray}$ abzuschätzen? Mir würde eine Abschätzung der Form $\begin{eqnarray} \mu(x)\le\sup_{n\in N}\mu_n(x) \end{eqnarray}$ ausreichen. Mit lieben Grüßen Torsten

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