Äquivalenzrelation - Komplexe Zahlen

28.02.2021, 00:23	Sikl	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation - Komplexe Zahlen Die Aufgabe ist, zeigen Sie das die folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist. $\begin{eqnarray} R = \{(u,\, v) \in \mathbb{C}^2 \,\| \, u - v \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ Also bei der Reflexivität ist es ja einfach, also wenn man z von z abzieht bzw. in diesem Fall ja u von u dann kommt ja 0 raus, was ja Element von den reelen Zahlen ist. Ist das folgende aber so richtig? Symmetrie $\begin{eqnarray} u - v \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow u - v = z \, (z \in \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow -v + u = z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow v - u = -z \, (-z \in \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow R\, ist \, symmetrisch \end{eqnarray}$ Transitiv Es gelte $\begin{eqnarray} uRv \land vRw \end{eqnarray}$ d. h. $\begin{eqnarray} u - v \land v - w \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow u - v = z1 \: und \: v - w = z2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow u = z1 + v \: und \: w = -z2 + v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow u - w = z1 + v -((-z2) + v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow u - w = z1 + v + z2 - v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow u - w = z1 + z2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow R\, ist\, transitiv \end{eqnarray}$
28.02.2021, 07:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig, es wird aber besser lesbar, wenn man sich an die Konvention hält, komplexe Zahlen mit u, v, w, z und reelle Zahlen mit r, s, t zu bezeichnen. Reflexiv : Für alle z ist z-z=0 reell Symmetrisch : u-v=r, dann ist v-u=-r Transitiv : u-v=r, v-w=s, dann ist u-w=u-v+v-w=r+s Nachtrag : Nachdem das geklärt ist stellt sich die Frage nach den Aequivalenzklassen und ob diese Relation eine Kongruenzrelation ist. Behauptung : Ja.

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