Ausklammern

28.02.2021, 02:14

Ugi32

Ausklammern

Hi,

ich würde mich freuen, wenn mir jmd. kurz etwas erklären könnte bitte.

Ich arbeite gerade ein Übungsbuch durch. Bin in dem Kapitel "Algebra", es geht um das Ausklammern von Termen.

Sowas hier ist kein Problem:

-6a + 9b - 15 => -3(2a -3b +5)
oder
3a² + 6a => 3a(a+2)

Aber bei dieser Aufgabe habe ich ein Problem:

a(b+3) + 3(b+3)
oder
(a-1)(a+3)+(a+2)(a+3)
oder
-2(a+4)³+6(a+4)²(a+2) =>

Die Lösungen habe ich auch zu allen Problemaufgaben. Aber in dem Buch sind halt nur Aufgaben. Ohne Erklärungen. Könnte jmd. mir erklären, wie man diese 3 Aufgaben löst?

Danke!

28.02.2021, 02:42

klauss

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RE: Hilfe beim Ausklammern
Man kann auch ganze Klammerausdrücke ausklammern. Durch die Klammern stellen sie eine zusammengehörige Einheit dar, die vorläufig wie eine einzelne Variable oder eine Zahl behandelt werden kann.

28.02.2021, 09:04

HaddiV

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RE: Hilfe beim Ausklammern
Vielleicht siehst du es besser, wenn du dir die geklammerten Ausdrücke als Buchstaben vorstellst, zB bei der ersten Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} a(b+3) + 3(b+3) = a\cdot (u) + 3\cdot (u) \end{eqnarray*}$

(Ich habe hier den Malpunkt nur eingefügt, weil die Schreibweise ohne Malpunkt $\begin{eqnarray*} a(u) \end{eqnarray*}$ normalerweise für etwas Anderes reserviert ist. Hier gehts mir nur darum, dass du die Sachen, die du ausklammern willst, besser siehst. Man könnte die Klammern um das u auch weglassen, um die Verwechselungsgefahr mit der anderen Bedeutung zu vermeiden, aber ich finde es so noch ein bißchen deutlicher im Hinblick auf deine Frage.
Und so ganz nebenbei hast du gleich noch gelernt, was eine Substitution ist: Man substituiert (= ersetzt) den Ausdruck $\begin{eqnarray*} b+3 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Das kann manche längeren Aufgaben vereinfachen, weil weniger komplizierte Ausdrücke da stehen und man kann die Substitution ja später einfach wieder rückgängig machen, indem man den alten Ausdruck anstelle des $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ wieder hinschreibt.)

Vielleicht noch deine zweite Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} (a-1)(a+3)+(a+2)(a+3) = (a-1)\cdot (u)+(a+2)\cdot (u) \end{eqnarray*}$

Viele Grüße

edit: eine kleine sprachliche Unschönheit verbessert,

28.02.2021, 10:31

Ulrich Ruhnau

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RE: Hilfe beim Ausklammern

Zitat:

Original von Ugi32
Aber bei dieser Aufgabe habe ich ein Problem:

$\begin{eqnarray*} a(b+3) + 3(b+3) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} (a-1)(a+3)+(a+2)(a+3) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} -2(a+4)³+6(a+4)²(a+2) \end{eqnarray*}$ =>

Man kann auch ganze Klammerausdrücke wie z.B. $\begin{eqnarray*} (b+3) \end{eqnarray*}$ ausklammern. $\begin{eqnarray*} a(b+3) + 3(b+3)=(a+3)(b+3) \end{eqnarray*}$

In diesem Beispiel $\begin{eqnarray*} (a-1)(a+3)+(a+2)(a+3) \end{eqnarray*}$ klammert Du einfach $\begin{eqnarray*} (a+3) \end{eqnarray*}$ aus.

Und in diesem Beispiel $\begin{eqnarray*} -2(a+4)³+6(a+4)²(a+2) \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} (a+4)^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern.

28.02.2021, 17:53

Bürgi

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RE: Hilfe beim Ausklammern
Nur eine ergänzende Bemerkung:

Wenn Klammern beseitigt werden (oder "aufgelöst"), dann muss multipliziert werden. Wenn Klammern gesetzt werden sollen, dann muss dividiert werden.
Stell dir vor, du hast die Summe $\begin{eqnarray*} s = a+b+c \end{eqnarray*}$ und du möchtest aus diese Summe x ausklammern.

Das Ausgeklammerte - also x - kommt vor die Klammer. Dann musst du jeden Summanden durch x teilen und das Ergebnis kommt in die Klammer:

$\begin{eqnarray*} s = a+b+c = x \left( \frac ax + \frac bx + \frac cx \right) \end{eqnarray*}$

Ich werde dir jetzt anhand deines letzten Terms (aber nur an diesem Term!) zeigen, wie dieses Verfahren funktioniert:

$\begin{eqnarray*} -2(a+4)^3+6(a+4)^2(a+2) \end{eqnarray*}$ Wie Ulrich Ruhnau schon vorschlug, kannst $\begin{eqnarray*} (a+4)^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} -2(a+4)^3+6(a+4)^2(a+2) = (a+4)^2 \left(\frac{-2(a+4)^3}{(a+4)^2} + \frac{6(a+4)^2(a+2)}{(a+4)^2} \right) \end{eqnarray*}$ Wie du siehst, kannst du in der großen Klammer kürzen: (Deswegen macht man normalerweise diese Umformungen)

$\begin{eqnarray*} -2(a+4)^3+6(a+4)^2(a+2) = (a+4)^2 \left(\frac{-2(a+4)^3}{(a+4)^2} + \frac{6(a+4)^2(a+2)}{(a+4)^2} \right) = (a+4)^2 \left((-2(a+4) + 6(a+2) \right) \end{eqnarray*}$

In der rechten Klammer noch ein bisschen aufräumen:

$\begin{eqnarray*} (a+4)^2 \left((-2(a+4) + 6(a+2) \right) = (a+4)^2 (-2a-8+6a+12) = (a+4)^2 (4a+4)) = 4(a+4)^2 (a+1) \end{eqnarray*}$

Nach diesem Verfahren kannst du nun deine übrigen Aufgaben bearbeiten.

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