Bestimmtes Integral Formel

28.02.2021, 16:35

Joky

Bestimmtes Integral Formel

Meine Frage:
Ist die folgende Gleichung korrekt oder fehlt etwas?

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx = \lim\limits_{n\to\infty} \sum \limits_{i=1}^{n}f(x_i) \left(\frac{b-a}{n}\right) \end{eqnarray*}$

Macht es dabei einen Unterschied ob sich bei i auf das i-te Rechteck der Obersumme oder Untersumme entschieden wird? Denn wie hängt das mit

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{a}^{b} f(x) = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

zusammen?

Meine Ideen:
-

28.02.2021, 19:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Joky
Ist die folgende Gleichung korrekt oder fehlt etwas?

Da fehlt einiges. In erster Linie, was du mit $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ meinst.

28.02.2021, 20:54

Joky

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f(x_i) bezeichnet den Funktionswert an der Stelle des i-ten Rechtecks. Also die Höhe des i-ten Rechtecks Was fehlt noch?

28.02.2021, 22:08

HAL 9000

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Das ist eine lausig ungenaue Antwort auf meine Frage - eigentlich eine Nicht-Antwort.

Anscheinend meint $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ eine Stelle im $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Intervall einer gleichmäßigen Intervallaufteilung von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleichbreite Teilintervalle, d.h. $\begin{eqnarray*} x_i\in\left[a + (i-1)\cdot\frac{b-a}{n},a + i\cdot\frac{b-a}{n}\right] \end{eqnarray*}$ - aber welche? Eine bestimmte? Irgendeine in diesem Intervall? Da schweigst du dich aus.

Zudem ist dann $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ auch noch von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängig, so dass die Symbolwahl unzureichend ist: Es müsste dann zumindest $\begin{eqnarray*} x_i^{(n)} \end{eqnarray*}$ o.ä. bezeichnet werden.

Außerdem gilt das mit dem Grenzwert nicht für alle $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ - du musst also auch noch irgendwelche Voraussetzungen an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stellen.

Du kannst nicht erwarten, dass jemand deine hingeworfene Formel absegnet, wenn faktisch alles wichtige an Umfeld in deiner Darlegung fehlt. unglücklich

28.02.2021, 23:06

Joky

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Es tut mir leid, ist tatsächlich keine Absicht. Erstmal Danke für die Hilfe.

Also f muss Riemann-integrierbar sein und $\begin{eqnarray*} x_i^{(n)} \end{eqnarray*}$ . Ist die Formel somit richtig? Ich verstehe nur nicht ganz inwiefern f(x) von n abhängig ist, da i bereits das i-te intervall angibt. Was genau sagt (n) aus? Wohl eine dumme Frage aber ich komme echt nicht dahinter.

28.02.2021, 23:34

Leopold

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Da geht bei dir einiges durcheinander.

$\begin{align*} f \end{align*}$ ist selbstverständlich nicht von $\begin{align*} n \end{align*}$ abhängig. Das wäre hier sinnlos. Die Summe unter dem Limes, die ist von $\begin{align*} n \end{align*}$ abhängig. Und die Frage nach den $\begin{align*} x_i \end{align*}$ hast du immer noch nicht beantwortet. Sind das die Teilungspunkte des Intervalls $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ ? Aus dem $\begin{align*} \frac{b-a}{n} \end{align*}$ schließe ich, daß wohl eine äquidistante Zerlegung vorliegt (Empfehlung: diesen Faktor gemäß Distributivgesetz vor die Summe ziehen). Dann wäre

$\begin{align*} x_i = a + i \cdot \frac{b-a}{n} \, , \ \ 0 \leq i \leq n \end{align*}$

Oder ist $\begin{align*} x_i \end{align*}$ eine irgendwie gewählte Stelle im $\begin{align*} i \end{align*}$ -ten Teilintervall? Diese Zwischenstellen werden gerne mit $\begin{align*} \xi_i \end{align*}$ bezeichnet. Auf die Abhängigkeit der $\begin{align*} x_i \end{align*}$ von $\begin{align*} n \end{align*}$ hat HAL hingewiesen. Ich denke aber, daß man die Abhängigkeit in der Bezeichnung unterdrücken kann, um diese nicht übermäßig aufzuladen. Natürlich muß einem diese Abhängigkeit im Kontext bewußt sein, damit man nicht an entscheidenden Stellen zu Fehlschlüssen kommt.

01.03.2021, 00:01

Joky

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Also wenn man sich die Rechtecke unter der Kurve vorstellt, dann soll $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ der Funktionswert sein der die Höhe des jeweiligen Rechtecks angibt. Ich kann es leider echt nicht besser erklären. $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ ist dann die Breite der Rechtecke bzw. die Länge der Teilintervalle, sollte ja schließlich dasselbe sein. Diese sollten ja unendlich schmal sein, da sich ansonsten die Fläche unter der Kurve nicht vollständig füllt. Mir erschließt sich nun nicht ganz wieso $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ alleine nicht stimmt sondern $\begin{eqnarray*} x_i^{(n)} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{a}^{b}f(x)\,dx = \lim\limits_{n\to\infty} \sum \limits_{i=1}^{n} f(x_i^{(*)}) \cdot \left(\frac{b-a}{n}\right) \end{eqnarray*}$ . Ich hab das ganze nun mit einem Sternchen versehen, da HAL gemeint hat n "oder Ähnliches". Ist die Formel so nun richtig, wenn das Sternchen mit dem Richtigen ersetzt wird. Also z.B. n.. nur weiß ich immer noch nicht wozu n.

Danke euch beiden

01.03.2021, 07:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Ich denke aber, daß man die Abhängigkeit in der Bezeichnung unterdrücken kann, um diese nicht übermäßig aufzuladen.

In einer Einzelformel der Riemannsumme bei festem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ würde ich zustimmen - in der obigen Formel mit ummantelten Grenzwert sehe ich diese Weglassung als echten Fehler an.

@Joky

Wenn du die Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ weglässt, dann bedeutet das, dass du beim Übergang $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ DIESELBEN Punkte $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ übernimmst und nur ein neuer
Punkt $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ hinzukommt - und das für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3,x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Auf diese Weise kannst du NICHT gewährleisten, dass für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ pro Unterteilungsintervall der Breite $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ jeweils ein Punkt $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ zugewiesen wird. Das
geht nur durch eine vollkommen neue Zuordnung für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x_1^{(1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1^{(2)},x_2^{(2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1^{(3)},x_2^{(3)},x_3^{(3)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1^{(4)},x_2^{(4)},x_3^{(4)},x_4^{(4)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Ich möchte ja nur, dass du dir des Problems deiner Bezeichnungsweise überhaupt bewusst wirst, was bisher anscheinend ja nicht der Fall ist.

01.03.2021, 10:52

Elvis

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Zitat:

Original von Joky
Also wenn man sich die Rechtecke unter der Kurve vorstellt, dann soll $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ der Funktionswert sein der die Höhe des jeweiligen Rechtecks angibt.

$\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ soll ein Stützpunkt sein, $\begin{eqnarray*} f(x_i) \end{eqnarray*}$ ist der zugehörige Funktionswert.

Zitat:

Original von Joky
... Breite der Rechtecke ... Diese sollten ja unendlich schmal sein, ...

Es gibt keine unendlich schmalen Rechtecke, für jedes $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist die Breite des Rechtecks $\begin{eqnarray*} \frac {b-a}n \end{eqnarray*}$ eine feste reelle Zahl.
Der Sinn des Riemann-Integrals besteht genau darin, dass man stets mit einer Folge von reellen Zahlen rechnet, der Wert des Integrals ist dann der Grenzwert der Folge.

01.03.2021, 13:53

Joky

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Vielen Dank für eure Hilfe, ich habe gewissermaßen immer noch Verständnisprobleme aber ich werde schon noch drauf kommen!

01.03.2021, 14:14

Elvis

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Gehört Differential- und Integralrechnung nicht mehr zum gymnasialen Schulstoff ?

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