Spatprodukt Ebene

28.02.2021, 18:50	ElHafy	Auf diesen Beitrag antworten »
Spatprodukt Ebene Meine Frage: Hallo allerseits. An folgender Fragestellung beiße ich mir seit Stunden die Zähne aus: Zeigen sie ,dass 3 Vektoren r1,r2,r3 in einer Ebene liegen müssen, wenn r1(r2xr3)=0 gilt Meine Ideen:* Da ja die 3 Vektoren in einer Ebene linear abhängig sein müssten hätte ich eine Linearkombination aus diesen 3 Vektoren gebildet und mit dem Spatprodukt gleichgesetzt um das ganze zu zeigen. Ich weis nicht ob mein Ansatz richtig ist, aber ab da weiß ich nicht mehr weiter wie man das ganze zeigen soll.
28.02.2021, 23:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus der Voraussetzung $\begin{eqnarray} \vec x_1 \cdot (\vec x_2 \times \vec x_3)=0 \end{eqnarray}$ folgt: Aussage 1: $\begin{eqnarray} \vec x_1 \end{eqnarray}$ steht senkrecht auf $\begin{eqnarray} (\vec x_2 \times x_3) \end{eqnarray}$ Aus der Definition des Vektorproduktes folgt: Aussage 2: $\begin{eqnarray} \vec x_2 ,\vec x_3 \end{eqnarray}$ stehen senkrecht auf $\begin{eqnarray} (\vec x_2 \times x_3) \end{eqnarray}$ Insgesamt haben wir also 4 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec x_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec x_3 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (\vec x_2 \times x_3) \end{eqnarray}$ , wobei der Vektor $\begin{eqnarray} (\vec x_2 \times x_3) \end{eqnarray}$ senkrecht auf allen 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec x_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec x_3 \end{eqnarray}$ steht. Da der Raum nur 3 Dimensionen hat, ist das nur dann möglich, wenn die 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec x_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec x_3 \end{eqnarray}$ in einem Unterraum mit der Dimension $\begin{eqnarray} n\leq 2 \end{eqnarray}$ liegen, also in einer Ebene.
01.03.2021, 09:03	staska	Auf diesen Beitrag antworten »
Je nach dem was man hier nutzen darf, wäre vielleicht die Linearität des Standardskalarproduktes auch noch eine Eigenschaft, die hilfreich ist. Man könnte ja in der Gleichung $\begin{eqnarray} a \cdot \vec{r_1}+b \cdot \vec{r_2}+c \cdot \vec{r_3}=\vec{0} \end{eqnarray}$ auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray} \vec{r_2} \times \vec{r_3}=\vec{n} \end{eqnarray}$ multiplizieren (Skalarmultiplikation). Aus den beiden von Ehos gelieferten Aussagen folgt dann ja, dass die Gleichung nicht nur für a=b=c=0 wahr ist und die Vektoren r1,r2 und r3 folglich linear abhängig sind, also in einer Ebene liegen müssen.
01.03.2021, 20:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Möglichkeit ist auch, mit Determinanten zu rechnen. Sei a.(b x c) = 0, a, b, c Vektoren Dazu schreibe zunächst die Komponenten von b, c als Spaltenvektor und multipliziere diesen skalar mit a: $\begin{eqnarray} a \cdot (b \times c) = 0 \ \to \ a \cdot (b \times c) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} b_3 & c_3 \\ b_1 & c_1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Die dreireihige Determinante ergibt sich nach dem Entwicklungssatz für Determinanten. Nachdem deren Wert Null ist, sind die drei Vektoren a, b, c linear abhängig. mY+

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