Wahrscheinlichkeit Zahl in Pi

01.03.2021, 12:23

Crichton

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Wahrscheinlichkeit Zahl in Pi

Meine Frage:
Ich habe heute eine Internetseite gefunden, die anzeigt an welcher Stelle man sein Geburtsdatum in Pi findet. Da ich meine Wahrscheinlichkeitsrechenkünste leider nicht ganz so stark ausgeprägt sind wollte ich mal fragen, wie man berechnen könnte, wie groß die z.b. die Wahrscheinlichkeit ist sein Geburtsdatum in den ersten x Stellen von Pi wiederzufinden.

Meine Ideen:
Vielen Dank im Voraus.

01.03.2021, 12:31

HAL 9000

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Das ist keine Frage der Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl mit einer feststehenden Dezimalbruchentwicklung. Also entweder ist das Geburtsdatum in den ersten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Stellen auffindbar (Wahrscheinlichkeit 1) oder nicht (Wahrscheinlichkeit 0), abhängig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - der Zufall spielt da keine Rolle.

Was anderes ist es, wenn du beispielsweise eine auf Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilte Zufallsgröße hast und dann dieselbe Frage stellst - dann kann man über solche "echten" Wahrscheinlichkeiten reden.

01.03.2021, 12:34

Crichton

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Dann eben wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige 8 Stellige Zahlenfolge in den ersten 1.000.000 Stellen auftritt? Das muss man doch ausrechnen können oder?

01.03.2021, 13:04

Steffen Bühler

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Wie HAL schon sagt: das ist kein Rechnen, sondern einfach ein Nachschauen, ob diese Zahlenfolge dort auftritt oder nicht. Wenn sie auftritt, ist die "Wahrscheinlichkeit" 100%, ansonsten Null.

Viele Grüße
Steffen

01.03.2021, 13:28

HAL 9000

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Nur weil die Folge der Nachkommastellungen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ einige Eigenschaften einer zufälligen Ziffernfolge zu zeigen scheint heißt das NICHT, dass sie selbst auch eine zufällige Ziffernfolge ist. Das sollte dir dann doch mal endlich klar sein. Ich hab ja eine Alternative angeboten

Zitat:

Original von HAL 9000
Was anderes ist es, wenn du beispielsweise eine auf Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilte Zufallsgröße hast und dann dieselbe Frage stellst - dann kann man über solche "echten" Wahrscheinlichkeiten reden.

aber wenn du die ausschlägst und auf $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ beharrst, drehen wir uns wohl im Kreis.

01.03.2021, 14:59

Crichton

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Jetzt verstehe ich was ihr meint... Wie würde es denn dann mit der stetig verteilten Zufallsgröße aussehen?

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01.03.2021, 15:00

Luftikus

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Wenn Pi die Eigenschaften einer Zufallsfolge hat, dann kommt darin die Ziffern deines Geburtstagdatums genauso vor wie die nächsten Lottozahlen, mit Wahrscheinlichkeit 1.
Ob Pi aber diese Eigenschaft hat, das weiss m.E. keiner.

01.03.2021, 15:06

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeit Zahl in Pi
Vielleicht möchte Crichton folgende Frage stellen:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, an einem Tag geboren zu werden, dessen Datum sich als 6- oder 8-stellige Zahlenfolge innerhalb der ersten x Nachkommastellen von Pi befindet?

Dies dann unter der Bedingung, dass der Geburtstag innerhalb eines bestimmten Zeitraums erfolgt (Kalenderjahr, Monat o. ä.).
Dazu müßte man wohl eigentlich nur alle entsprechenden datumskonformen Zahlenfolgen in Pi abzählen, Gleichverteilung der Geburtstage im zugrundeliegenden Zeitraum unterstellt.

01.03.2021, 15:10

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das ist keine Frage der Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl mit einer feststehenden Dezimalbruchentwicklung. Also entweder ist das Geburtsdatum in den ersten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Stellen auffindbar (Wahrscheinlichkeit 1) oder nicht (Wahrscheinlichkeit 0), abhängig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - der Zufall spielt da keine Rolle.[...]

mhh.. Die Frage einer Wahrscheinlichkeit hängt vom Betrachter ab.
Kommt Tante Frieda am Sonntag zu Besuch?
Regnet es am Freitag?

Das sind Fragen die stark vom Vorwissen abhängig sind. Ich würde die Fragen anders als ein Meterologe einschätzen. Am Montag sind wir dann schlauer.

kurz: zwar ist die Ziffernfolge von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ deterministisch s.o. trotzdem kann man mangels Zeit und dem Rechenaufwand erst mal vom Pseudozufall ausgehen.
Entscheidend ist nun ob die Zahl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ als unendliche nichtperiodiodische Dezimalzahl "normal" ist.

Normal ist eine Zahl, wenn jede Ziffernfolge der Länge k im Limes mit der relativen Häufigkeit $\begin{eqnarray*} \frac 1k \end{eqnarray*}$ auftritt. Edit: 1/10^k

Wiki sagt :
Es ist von vielen irrationalen Zahlen nicht bekannt, ob sie zu irgendeiner Basis normal sind oder nicht, unter ihnen sind die Kreiszahl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , die Eulersche Konstante e , der natürliche Logarithmus der Zahl 2 oder $\begin{eqnarray*} \sqrt {2} \end{eqnarray*}$ . Die meisten als normal erkannte Zahlen wurden mit dieser Eigenschaft als Ziel konstruiert.

Die Mathematiker David H. Bailey und Richard E. Crandall stellten 2001 die bis heute nicht bewiesene Vermutung auf, dass jede irrationale algebraische Zahl normal ist.

Dilemma? ja und nein.
Für den Hausgebrauch könntest du von Normalität, auch den ersten 1 Mio Ziffern, ausgehen, schließlich du ja irgendetwas in die Hand kriegen auch wenn das Ergebnis selbst mit Unsicherheit behaftet ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.03.2021, 15:15

Luftikus

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Zitat:

Original von Dopap
Normal ist eine Zahl, wenn jede Ziffernfolge der Länge k im Limes mit der relativen Häufigkeit $\begin{eqnarray*} \frac 1k \end{eqnarray*}$ auftritt.

Wenn wir vom Dezimalsystem ausgehen, sollte diese Häufigkeit $\begin{eqnarray*} 10^{-k} \end{eqnarray*}$ sein, aber ansonsten stimme ich dir zu.

01.03.2021, 16:00

HAL 9000

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Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Geburtsdatum (egal ob 6- oder 8-stellig betrachtet) innerhalb der ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nachkommastellen auftaucht, vom konkreten Geburtstag durchaus abhängig: Der Effekt, der z.B. hier

Wahrscheinlichkeit bestimmter Folge nach n Zufallsereignissen, Wahrscheinlichkeit aller Folgen

bei Binärmustern beschrieben wurde, trifft ebenso auch auf Muster von Ziffern 0-9 zu: Dazu betrachten wir folgende Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} p_{n,m} \end{eqnarray*}$ ... bis einschließlich Position $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wurde das Geburtsdatum noch nicht gesehen, aber $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist maximal in der Hinsicht, dass die letzten $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Ziffern $\begin{eqnarray*} z_{n-m+1},\ldots,z_n \end{eqnarray*}$ mit den ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ziffern des Zieldatum übereinstimmen.

Für diese $\begin{eqnarray*} p_{n,m} \end{eqnarray*}$ kann man Rekursionsgleichungen aufstellen. Ok, wir gehen mal von einem achtstelligen Geburtsdatum aus, wie z.B. 19031962, dann müssen wir $\begin{eqnarray*} m=0,\ldots,7 \end{eqnarray*}$ betrachten. Für unser Beispielgeburtsdatum gilt dann

$\begin{eqnarray*} p_{n,7} = 0.1p_{n-1,6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,6} = 0.1p_{n-1,5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,5} = 0.1p_{n-1,4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,4} = 0.1p_{n-1,3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,3} = 0.1p_{n-1,2}+0.1p_{n-1,6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,2} = 0.1p_{n-1,1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,1} = 0.1p_{n-1,0} + 0.1p_{n-1,1} + 0.1p_{n-1,2} + 0.1p_{n-1,3} + 0.1p_{n-1,5} + 0.1p_{n-1,6} + 0.1p_{n-1,7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,0} = 0.9p_{n-1,0} + 0.8p_{n-1,1} + 0.8p_{n-1,2} + 0.8p_{n-1,3} + 0.9p_{n-1,4} + 0.8p_{n-1,5} + 0.7p_{n-1,6} + 0.8p_{n-1,7} \end{eqnarray*}$

Start ist $\begin{eqnarray*} p_{0,0}=1,p_{0,1}=\ldots=p_{0,7}=0 \end{eqnarray*}$ .

Letztlich interessiert uns eigentlich nur $\begin{eqnarray*} q_n = 1-\sum_{k=0}^7 p_{n,k} \end{eqnarray*}$ , die Wahrscheinlichkeit bis einschließlich Position $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ den Geburtstag mindestens einmal gesehen zu haben. Die obige Aufsplittung nach Endsequenzen ermöglicht uns aber den rekursiven Zugang, der anderweitig nur schwer zu bewerkstelligen ist (ich zumindest wüsste nicht wie).

Warum die veränderte Formel für $\begin{eqnarray*} p_{n,3} \end{eqnarray*}$ ? Nun, es geht darum, wie man in Anbetracht der Vorgeschichte auf Endsequenz *190 kommen kann, und das auf zwei Weisen *19 mit angehängter 0 oder aber *190319 mit angehängter 0.

Ein zweites, ebenfalls aussagekräftigeres Beispiel: Geburtsdatum 11011941

$\begin{eqnarray*} p_{n,7} = 0.1p_{n-1,6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,6} = 0.1p_{n-1,5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,5} = 0.1p_{n-1,4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,4} = 0.1p_{n-1,3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,3} = 0.1p_{n-1,2}+0.1p_{n-1,5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,2} = 0.1p_{n-1,1}+0.1p_{n-1,2}+0.1p_{n-1,5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,1} = 0.1p_{n-1,0} + 0.1p_{n-1,6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n,0} = 0.9p_{n-1,0} + 0.9p_{n-1,1} + 0.8p_{n-1,2} + 0.9p_{n-1,3} + 0.9p_{n-1,4} + 0.7p_{n-1,5} + 0.8p_{n-1,6} + 0.9p_{n-1,7} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Mit Dank an Steffen und Werner für das Ausborgen ihrer Geburtstage.

Zitat:

Original von Dopap
kurz: zwar ist die Ziffernfolge von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ deterministisch s.o. trotzdem kann man mangels Zeit und dem Rechenaufwand erst mal vom Pseudozufall ausgehen.

Bei achtstelligem Geburtstag sagt eine Grobschätzung das Auftreten innerhalb der ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stellen mit einer Wahrscheinlichkeit von ca.

$\begin{eqnarray*} 1-\left(1-10^{-8}\right)^n\approx 1-\exp\left(n\cdot 10^{-8}\right) \end{eqnarray*}$

voraus. Mit etwas Anstrengung kann man die Berechnung von 1 Milliarde Stellen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ durchaus mit einem handelüblichen PC bewältigen, und dann nach dem Geburtstag scannen. Ist also durchaus nicht so unmöglich, wie du es hier erscheinen lassen willst. Bei sechs- statt achtstelligen Geburtstag kann man nicht mal mehr von Anstrengung sprechen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.03.2021, 16:20

Luftikus

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Zitat:

Original von HAL 9000
Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Geburtsdatum (egal ob 6- oder 8-stellig betrachtet) innerhalb der ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nachkommastellen auftaucht, vom konkreten Geburtstag durchaus abhängig: Der Effekt, der z.B. hier

Wahrscheinlichkeit bestimmter Folge nach n Zufallsereignissen, Wahrscheinlichkeit aller Folgen

Deine Berechnung wäre sicher zutreffend, wenn auch dein Modell von einer Zufallsfolge von n Ziffern zutreffen würde.

Aber n (erste) Ziffern (n endlich) sind hier deterministisch, sie ändern sich nicht von Fall zu Fall.
Das ist also gar keine Frage der Wahrscheinlichkeit.

Anders schaut es aber aus, wenn du n gegen unendlich gehen lässt.
Dann ist ja gerade die Frage, ob es solche Zufallsfolgen gibt, die darin enthalten sind, wenn die Ziffernfolge von Pi "normal" zufällig wäre.

Ist es so, dann gibt es eben ein n0, ab der die gesuchte Folge auftritt, mit Wahrscheinlichkeit 1.

Ob aber eine Folge von k Ziffern in den ersten n Ziffern von Pi auftritt ist deterministisch, nicht zufällig.

01.03.2021, 16:25

HAL 9000

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Ich meine mit diesen Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen selbstverständlich dieses Modell

Zitat:

Original von HAL 9000
Was anderes ist es, wenn du beispielsweise eine auf Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilte Zufallsgröße hast und dann dieselbe Frage stellst - dann kann man über solche "echten" Wahrscheinlichkeiten reden.

statt $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ betrifft, hatte ich den Vortrag, den du mir gerade gehalten hast, oben schon mal Fragesteller Crichton verklickert. Hast du wohl nicht mitbekommen - passiert, wenn man den Thread nur überfliegt. smile

smile

01.03.2021, 16:29

Luftikus

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich meine mit diesen Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen selbstverständlich dieses Modell

Zitat:

Original von HAL 9000
Was anderes ist es, wenn du beispielsweise eine auf Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilte Zufallsgröße hast und dann dieselbe Frage stellst - dann kann man über solche "echten" Wahrscheinlichkeiten reden.

statt $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Haha, Thema verfehlt. smile

smile

PS: Trotzdem interessante Betrachtung..

01.03.2021, 16:29

HAL 9000

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.

01.03.2021, 16:30

HAL 9000

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Was $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ betrifft, hatte ich den Vortrag, den du mir gerade gehalten hast, oben schon mal Fragesteller Crichton verklickert. Hast du wohl nicht mitbekommen - passiert, wenn man den Thread nur überfliegt. smile

smile

01.03.2021, 16:32

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich meine:
ein Thread ein Thema. Aber wie gesagt, als "Ergänzung" trotzdem interessant. smile

smile

01.03.2021, 16:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Luftikus
Okay, ich meine:
ein Thread ein Thema.

Dann halte dich von den Threads von Dopap fern: Der ändert ständig mitten im Thread die Rahmenbedingungen seiner Problemstellungen, woraufhin die eigenen Bemühungen und Anstrengungen im Papierkorb landen - zumindest seinem Papierkorb. smile

smile

01.03.2021, 16:37

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Luftikus
Okay, ich meine:
ein Thread ein Thema.

Dann halte dich von den Threads von Dopap fern: Der ändert ständig mitten im Thread die Rahmenbedingungen seiner Problemstellungen, woraufhin die eigenen Bemühungen und Anstrengungen im Papierkorb landen - zumindest seinem Papierkorb. smile

smile

Bitte kein "Bashing" jetzt gegen andere User, so war das nicht gemeint. Obwohl ich weiss, was du meinst.. smile

smile

01.03.2021, 16:39

HAL 9000

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Dopap weiß es, und er hat das Bashing verdient. Er hat schon Tonnen und Abertonnen meiner Betrachtungen in dieser Weise behandelt. Und da du gerade mit der Mahnung "Ein Thread - Ein Thema" hier belehren wolltest, musste das mal raus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.03.2021, 16:42

Luftikus

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dopap weiß es, und er hat das Bashing verdient. Er hat schon Tonnen und Abertonnen meiner Betrachtungen in dieser Weise behandelt. Und da du gerade mit der Mahnung "Ein Thread - Ein Thema" hier belehren wolltest, musste das mal raus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Okay, verstehe dich, aber hoffe, du hast jetzt auch Verständnis, wenn ich mich an dieser Stelle verabschiede. Dopap bringt m.E. auch viele sehr interessante Beiträge, die ich hier nicht missen will. smile

smile

01.03.2021, 17:20

HAL 9000

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Das eine schließt ja das andere nicht aus.

01.03.2021, 17:33

Luftikus

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das eine schließt ja das andere nicht aus.

Ja das stimmt im formalen logischen Sinne:

$\begin{eqnarray*} \neg (A \wedge B) = \neg A \vee \neg B \end{eqnarray*}$

Semantisch liest sich das aber anders..

01.03.2021, 18:25

Elvis

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Bitte lasst Dopap in Ruhe und versucht, nett zu ihm zu sein Respekt

Respekt

, ohne ihn wäre die Welt ärmer.

01.03.2021, 18:35

HAL 9000

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Der Unterschied ist übrigens "gewaltig": In den ersten $\begin{eqnarray*} 10^8 \end{eqnarray*}$ Stellen einer [0,1]-Zufallszahl kommt

Sequenz 19031962 mit einer Wahrscheinlichkeit 0.632120563347, und

Sequenz 11011941 mit einer Wahrscheinlichkeit 0.632120526540

vor. Na wenn sich dafür der Aufwand nicht gelohnt hat. Big Laugh

Big Laugh

Für 11111111 (ja, aus dem 12.Jahrhundert...) wird es aber langsam spürbar:

Da sinkt die Wahrscheinlichkeit auf nur noch 0.593430345580 .

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