Beweis Analysis

01.03.2021, 21:37

MasterWizz

Beweis Analysis

Hey Leute,

Gegeben ist eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0)=f(1) \end{eqnarray*}$ . Zu beweisen ist, dass es eine Konstante $\begin{eqnarray*} c\in[0,\frac12] \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f(c)=f(c+\frac12) \end{eqnarray*}$ .

Ich würde es gern selbst versuchen, nur komme ich leider nicht auf einen Ansatz. Könnt ihr mir da weiter helfen?

01.03.2021, 21:56

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RE: Beweis Analysis
Betrachte $\begin{eqnarray*} f(x)-f(x+\frac 1 2 ) \end{eqnarray*}$

01.03.2021, 22:25

MasterWizz

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RE: Beweis Analysis
Wow ich glaub ich habs!

Sei $\begin{eqnarray*} g:[0,\frac12]\rightarrow\mathbb{R},\ g(x)=f(x)-f(x+\frac12) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt wegen $\begin{eqnarray*} g(0)=f(0)-f(\frac12) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(\frac12)=f(\frac12)-f(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0)=f(1) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} g(0)=-g(\frac12) \end{eqnarray*}$ . Entweder $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sind konstante Funktionen, was die Aussage trivialer Weise erfüllt oder wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gibt es eine Nullstelle. Diese Nullstelle ist das gesuchte $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so??

Mal ehrlich wie kommst du auf diese geniale Idee? Hast du irgendwelche Anhaltspunkte oder Strategien zum Beweisen solcher Aussagen?

02.03.2021, 06:29

Elvis

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Deine Rechnung stimmt, aber deine anschließende Erklärung ist mir nicht verständlich. Eine Fallunterscheidung ist unnötig. Die geniale Idee für den Beweis ist natürlich der Zwischenwertsatz, und am Ende musst du ihn auch benutzen. (Wo ist g definiert? Warum ist g stetig?)

02.03.2021, 08:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
Eine Fallunterscheidung ist unnötig.

Genau genommen stimmt das, ja. Womöglich erleichtert es aber das Verständnis, wenn man zwischen den Fällen $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ unterscheidet, bei letzterem kann man dann von "echt" unterschiedlichen Vorzeichen der Funktionswerte $\begin{eqnarray*} g(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\left(\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ sprechen.

Hier die Konstanz der Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ins Spiel zu bringen, ist aber fragwürdig: Wüsste nicht, inwieweit das im Rahmen dieser Betrachtung hier irgend einen Sinn machen sollte.

02.03.2021, 09:01

MasterWizz

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Ok verstehe. Hier noch (hoffentlich) die saubere Erklärung:

$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist stetig, weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist (die Summe stetiger Funktionen bleibt stetig). Definiert ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\frac12] \end{eqnarray*}$ , weshalb $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nach dem Zwischenwertsatz alle Funktionswerte zwischen $\begin{eqnarray*} g(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(\frac12) \end{eqnarray*}$ annehmen muss, also alle Funktionswerte zwischen $\begin{eqnarray*} g(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -g(0) \end{eqnarray*}$ . Wegen der Stetigkeit und dem Vorzeichenwechsel muss eine Nullstelle von g innerhalb des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,\frac12] \end{eqnarray*}$ liegen.

Was genau ist eure Strategie beim beweisen solcher Aussagen? Habt ihr alle wichtigen Sätze im Kopf und geht sie einfach nacheinander durch, bis einer passt? Allein der Denkanstoß mit der Subtraktion hat mir schon geholfen, aber selbst kam ich nicht darauf. Das ärgert mich aber, weil ich es auch können will...

02.03.2021, 09:34

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Da kommt es wohl auf den Korrektor an, ob er dir den Fall g(0)=0 so abnimmt. Korrekt ist es, aber vielleicht zu knapp. Konstant müssen f und g auch im Fall g(0)=0 nicht sein. Man findet leicht ein stetiges, nicht konstantes f mit f(0)=f(1/2)=f(1).

02.03.2021, 11:23

Elvis

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@MatsterWizz
Zur Lösung: Jetzt ist deine Begründung perfekt.
Zur Strategie: Die Funktion f ist stetig auf dem Intervall [0,1], und es wird eine Stelle c zwischen 0 und 1/2 gesucht. Da kann nur der Zwischenwertsatz helfen. Von dieser Trivialität bis zu URLs Ansatz ist es nicht mehr weit, womit ich seine Idee nicht schlechtreden will, sie ist zweifellos gut, richtig und zielführend.

03.03.2021, 00:54

MasterWizz

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Super vielen Dank mal wieder für eure professionelle Hilfe. Hoffentlich werde ich irgendwann auch so gut wie ihr, wenn ich weiter übe. Ich liebe Mathematik und würde später gern in dem Bereich arbeiten. Scheint noch ein weiter Weg zu sein, aber ich hab das Gefühl immer weiter zu kommen! smile

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