Basis eines LGS |
| 03.03.2021, 14:25 | Schnackelz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Basis eines LGS ich habe Probleme mit dem Verständnis der Themen Matrix und Basis im Zusammenhang mit LGS. Vielleicht kann mir jemand helfen. Es geht um folgendes Problem: Ich habe die Matrix A gegeben und ich soll eine Basis des homogenen Gleichungssystems Ax = 0 angeben: Mein Verständnis bisher: Jede Spalte der Matrix stellt einen Vektor dar und die Matrix ist im Prinzip ein Erzeugendensystem. Ich habe also fünf Vektoren in diesem System. Nun sehe ich anhand der Stufenform, dass es drei Stufen gibt und das die Vektoren 3 und 5 dann linear abhängig sind. Jetzt denke ich mir: "Top. Ich habe noch drei lineare unabhängige Vektoren übrig, das passt auch mit dem Rang, da die 4. Zeile eine Nullzeile ist. Dann sind die 3 Vektoren (also der 1. , 2. und der 4.) wohl eine Basis für einen dreidimensionalen Raum. " In der Lösung steht jetzt allerdings, dass man nur zwei Basisvektoren benötigt und man bereichnet das mit der Formel: Spaltenanzahl - Rang = Dimension . Leider stehe ich völlig auf dem Schlauch warum man das so macht und es passt gar nicht zu dem, wie ich mir Matrizen bisher "vorgestellt" habe. Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand meinen Denkfehler erkennt und mir mit einer möglichst intuitiven Erklärung weiterhelfen könnte 
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| 03.03.2021, 15:12 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt nicht: Diese beiden Vektoren sind linear unabhängig. Was du womöglich meinst, aber in dieser Weise vollkommen falsch ausgedrückt hast ist, dass die Vektoren 3 und 5 als Linearkombinationen der restlichen Vektoren 1,2 und 4 darstellbar sind - so würde es stimmen.
Ja, stimmt ja auch: Es geht um die Basis des Lösungsraums von , d.h., des Kerns der Abbildung. Es geht dabei NICHT um eine Basis des Wertebereichs dieser Abbildung. |
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