Komplexe Zahlen

03.03.2021, 15:26

SaunaGänger86

Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Hallo,

ich hänge seit geraumerzeit an der folgenden Aufgabe:

Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} z^{2} =-6*z^{*} \end{eqnarray*}$
Falls die LateX-Funktion nicht funktioniert:

z^{2} =-6*z^{*}

mit
$\begin{eqnarray*} z^{*} \end{eqnarray*}$ als der konjugiert komplexen Zahl
mit
$\begin{eqnarray*} z=x+iy (x,y \in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

Falls die LateX-Funktion nicht funktioniert:

z^* als konjugiert komplexe Zahl
z=x+iy mit (x,y) Elemente der rationalen Zahlen

Meine Ideen:
Ich habe schon diverse Möglichkeiten ausprobiert, mit denen ich aber leider nicht ans Ziel komme. Irgendwo scheint mir eine Info oder ein Trick zu fehlen oder mir nicht mehr einzufallen.

03.03.2021, 15:49

HAL 9000

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Würde ich mit Polardarstellung angehen:

Ansatz $\begin{eqnarray*} z=re^{\varphi i} \end{eqnarray*}$ überführt Gleichung $\begin{eqnarray*} z^2=-6\cdot z^* \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} r^2 e^{2\varphi i} = -6re^{-\varphi i} \end{eqnarray*}$ .

Da gibt es die eine Lösung $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ (was zu z=0 führt), in allen anderen Fällen ist $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ und es ergibt sich $\begin{eqnarray*} r e^{3\varphi i} = -6 = 6 e^{\pi i} \end{eqnarray*}$ , was klar zu $\begin{eqnarray*} r=6 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 3\varphi = \pi + 2k\pi \end{eqnarray*}$ führt, insgesamt also drei weiteren $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Lösungen (k=0,1,2).

04.03.2021, 08:47

Leopold

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Es besteht die Äquivalenz

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ z^2 = - 6 \bar{z} \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{(2)} \ \ z^4 + 216z = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{(3)} \ \ z(z+6) \left( z^2 - 6z + 36 \right) = 0 \end{align*}$

Die Äquivalenz $\begin{align*} \text{(2)} \ \Leftrightarrow \text{(3)} \end{align*}$ ist klar: Das Polynom wird in Faktoren zerlegt. Die Äquivalenz $\begin{align*} \text{(1)} \ \Leftrightarrow \text{(2)} \end{align*}$ kann man folgendermaßen begründen:

Zunächst ist offenbar $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ eine Lösung beider Gleichungen. Wir dürfen daher für den Rest der Argumentation $\begin{align*} z \neq 0 \end{align*}$ annehmen.
Geht man in $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ zum konjugiert Komplexen über, erhält man $\begin{align*} \bar{z}^2 = - 6z \end{align*}$ . Man löst nun $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ nach $\begin{align*} \bar{z} \end{align*}$ auf und setzt das in die letzte Gleichung ein. Mit wenigen Umformungen erhält man $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ .
Umgekehrt erhält man aus $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ die Gleichung $\begin{align*} z^3 = -216 \end{align*}$ und daraus nach Übergang zum Betrag und Ziehen der reellen dritten Wurzel $\begin{align*} |z| = 6 \end{align*}$ . Diese Gleichung wird quadriert und erhält wegen $\begin{align*} |z|^2 = z \bar{z} \end{align*}$ nach Multiplikation mit $\begin{align*} z^2 \end{align*}$ die Form: $\begin{align*} z^3 \bar{z} = 36z^2 \end{align*}$ . Jetzt ist man am Ziel, denn mit $\begin{align*} z^3 = -216 \end{align*}$ wird daraus $\begin{align*} z^2 = - 6 \bar{z} \end{align*}$ .

Das wäre eine Alternative zu HALs Ansatz. Sie ist sicher nicht kürzer, aber anders. Im übrigen habe ich mir mit der Äquivalenz $\begin{align*} \text{(1)} \ \Leftrightarrow \text{(2)} \end{align*}$ zu viel Mühe gemacht. Es hätte ja $\begin{align*} \text{(1)} \ \Rightarrow \text{(2)} \end{align*}$ genügt, wenn man mit den gefundenen Lösungen anschließend die Probe macht.

04.03.2021, 17:12

SaunaGänger86

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Vielen Dank für eure Hilfe. Ich gebe zu etwas gebraucht zu haben bis ich HAL's Ansatz verstanden habe.
Wie man zu $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ gelangt ist logisch. Ein Produkt wird "Null", wenn einer der Faktoren "Null" ist.

$\begin{eqnarray*} z^{2}=-6 \cdot z^{*} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} z=r \cdot e^{\varphi i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^{*}=r \cdot e^{-\varphi i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^{2} \cdot e^{2 \varphi i}=-6 \cdot r \cdot e^{-\varphi i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0^{2} \cdot e^{2 \varphi i}=-6 \cdot 0 \cdot e^{-\varphi i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

Aber bei $\begin{eqnarray*} r \cdot e^{3 \varphi i}=-6=6 \cdot e^{-\pi i} \end{eqnarray*}$ konnte ich auf Anhieb nicht verstehen, wie man darauf kommen soll.
Aber nach kurzem überlegen und nachschlagen konnte ich erkennen wie HAL auf $\begin{eqnarray*} r=6 \end{eqnarray*}$ kommt.

$\begin{eqnarray*} z^{2}=-6 \cdot z^{*} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \cdot \frac {1}{z^{*}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac {z^{2}}{z^{*}}=-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac {r^{2} \cdot e^{2 \varphi i}}{r \cdot e^{-\varphi i}}=-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac {r^2}{r} \cdot e^{i \cdot 2\varphi -(-\varphi)}=-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r \cdot e^{i \cdot 3 \varphi}=-6 \end{eqnarray*}$

Nun erinnert man sich daran, das der Betrag von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist und kommt zur Lösung :

$\begin{eqnarray*} r=|z|=|-6|=6 \end{eqnarray*}$

Jetzt wurde es etwas kniffliger. Und zwar gibt es laut meiner Formelsammlung die Eulerschen Formeln
$\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \varphi}=\cos(\varphi)+i \cdot \sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-i \cdot \varphi}=\cos(\varphi)-i \cdot \sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ spezielle Werte.

In meinem Fall bot sich $\begin{eqnarray*} -1=1 \cdot e^{i \cdot \pi} \end{eqnarray*}$ an.

$\begin{eqnarray*} -1=1 \cdot e^{i \cdot \pi} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \cdot 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -6=6 \cdot e^{i \cdot \pi} \end{eqnarray*}$

Damit und mit $\begin{eqnarray*} r=|z|=|-6|=6 \end{eqnarray*}$ erhält man:

$\begin{eqnarray*} 6 \cdot e^{i \cdot 3 \varphi}=-6=6 \cdot e^{i \cdot \pi} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \cdot \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot e^{i \cdot 3 \varphi}=1 \cdot e^{i \cdot \pi} \end{eqnarray*}$

Über einen Koeffizientenvergleich gelangt man zur Formel:

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot \varphi = \pi \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle muss man wissen, dass sich die komplexen Zahlen auf einem Kreis mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ darstellen lassen. Ein Kreis besitzt den Umfang $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ . D.h. ein beliebiger Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , welcher auf dem Kreis liegt, gelangt bei einem Verdrehen des Kreises um $\begin{eqnarray*} 360° \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ an der gleichen Stelle an, egal wie viele Male $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ man dreht, solange $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist.

Mit diesem Wissen erhält man die Formel:

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot \varphi = \pi+2 \cdot k \cdot \pi \end{eqnarray*}$

Setzt man nun für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Werte ein und stellt die Formel nach $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ um, kann man diese Werte in die Gleichung

$\begin{eqnarray*} z_{k}=6 \cdot e^{i \cdot \varphi} \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} z_{k}=6 \cdot \cos(\varphi) +6 \cdot i \cdot \sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

einsetzen.
Die macht man für $\begin{eqnarray*} k=(0,1,2,3,...) \end{eqnarray*}$

Man erhält nun für $\begin{eqnarray*} z_{k} \end{eqnarray*}$ die folgenden Werte:

$\begin{eqnarray*} z_{0}=3+3i \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1}=-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2}=3-3i \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{3}=3+3i \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{4}=-6 \end{eqnarray*}$
Und so weiter.

Wir sehen, dass sich der Werte wiederholen und können die weitere Betrachtung beenden.
Man hätte auch durch Beobachtung darauf schließen können, dass die Lösungen $\begin{eqnarray*} z_{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{4} \end{eqnarray*}$ nicht zu berechnen sind, da sie ein ganzzahliges Vielfaches der Lösungen $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{1} \end{eqnarray*}$ sind (Kreisumfang etc. siehe oben). Aber Mathe macht ja Spaß, wenn man rechnen kann.

Zusammen mit dem bereits ermittelten Lösung $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ haben wir nun alle Lösungen gefunden und die Aufgabe gelöst.

Sollte ich irgendwelche Fehler in der Mathematik haben korrigiert mich bitte.

Grüße SG86
______________________________________________________________________
Rechtschreibfehler verstecken sich in diesem Post vor Corona.

04.03.2021, 17:26

Leopold

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Du kannst auch in $\begin{align*} z^2 = - 6 \bar{z} \end{align*}$ zum Betrag übergehen:

$\begin{align*} \left| z^2 \right| = \left| -6 \bar{z} \right| \end{align*}$

$\begin{align*} |z|^2 = 6 |z| \end{align*}$

$\begin{align*} |z| \cdot \left( |z| - 6 \right) = 0 \end{align*}$

Du erhältst sofort die beiden Möglichkeiten $\begin{align*} r = |z| = 0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} r = |z| = 6 \end{align*}$ .

05.03.2021, 00:17

mYthos

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Einen alternativen Weg zeigt die algebraische, "klassische" Methode, also setzen wir

$\begin{eqnarray*} z = x + iy \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich aus der gegebenen Gleichung mittels Koeffizientenvergleich das System

$\begin{eqnarray*} I. \ x^2 - y^2 + 6\color{red}x\color{black} = 0 \end{eqnarray*}$ - EDIT: y zu x korrigiert

$\begin{eqnarray*} II. \ y(2x - 6) = 0 \end{eqnarray*}$
-----------------------------

$\begin{eqnarray*} II. \ 1. \quad y = 0 \quad \quad 2. \quad x = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I. \ x² + 6x = 0 \quad \quad II.1. \quad y^2 = 27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I.1. \ x = 0 \quad I.2. \quad x = -6 \end{eqnarray*}$
...
Somit sind die 4 Lösungen $\begin{eqnarray*} (0|0); (-6|0); (3|3\sqrt 3) \text{ und } (3|-3\sqrt 3) \end{eqnarray*}$ (Koordinatendarstellung von z)

mY+

31.03.2021, 17:53

HiBee123

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Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} I. \ x² + 6x = 0 \end{eqnarray*}$

kleiner rechenfehler, hier müsste x^2=0 stehen... deshalb ist auch (-6|0) keine valide Lösung.

(-6)^2-0^2+6*0=36 !=0

31.03.2021, 19:06

mYthos

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Nein, das sehe ich nicht ! Woher soll der Rechenfehler kommen?
Bevor du meinst, -6 sei keine Lösung, dann setze diese doch zuvor in die gegebene Gleichung ein:

z = -6; z* = -6

Die Gleichung lautete: z² = -6z*, Probe ->> (-6)² = (-6)*(-6)

mY+

31.03.2021, 19:48

HiBee123

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Oh entschuldigung... dann hab ich mich wohl verguckt. ich dachte du kommst auf x^2 +6x, durch einsetzten von y=0 bei x^2-y^2+6y und hättest hier nen Tippfehler... aber scheinbar hab ich einen Denkfehler, die Lösung ist ja wie du bewiesen hast richtig.

Okay, also sorry! Wink

(Und wenn du noch kurz zeit hast .. woher kommt denn jetzt diese Gleichung mit dem x^2+6x? )

31.03.2021, 21:04

mYthos

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Das ist eine gute Frage. Am Papier hatte ich es richtig, allerdings in dem betreffenden Beitrag einen Schreibfehler, bitte um Entschuldigung.
Ich habe diesen dort rot editiert!

Vor dem Koeffizientenvergleich ist nämlich:

$\begin{eqnarray*} x^2 - y^2 + 2ixy = -6x + 6iy \end{eqnarray*}$ , damit nach Real- und Imaginäteil getrennt die Gleichungen I. und II.

$\begin{eqnarray*} (I): \ x^2 + 6x - y^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (II): \ 2y(3-x) = 0 \end{eqnarray*}$
------------------------------

Und - jetzt ist's richtig - kommt nach $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$ aus (I) folgerichtig in (II) $\begin{eqnarray*} x^2 + 6x = 0 \end{eqnarray*}$

mY+

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