Casinogewinn

03.03.2021, 16:42

yellowman

Casinogewinn

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe:

Zwei Personen betreten ein Casino in dem alle Glücksspiele einen Einstz von 4€ verlangen und unabhängig voneinander sind. Spieler 1 nimmt an Spiel A teil, Spiele 2 an Spiel B. Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht keiner der beiden einen Gewinn?

Spielregeln:

Spiel A: Man wirft so lange mit einer fairen Münze, bis zum ersten Mal Zahl erscheint. Ist die Anzahl der benötigten Versuche gerade, so erhält man eine Auszahlung in Höhe von 10€. Ansonsten erfolgt keinerlei Auszahlung.
Spiel B: Ein Spielautomat gibt per Knopfdruck eine Zufallszahl aus die Laplace-verteilt sei mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} \gamma=\frac{1}{ln(2)} \end{eqnarray*}$ . Die Auszahlungshöhe entspricht dann dem Quadrat dieser ausgegebenen Zahl.

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} \text{X=Spieler 1 macht keinen Gewinn} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Y=Spieler 2 macht keinen Gewinn} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\text{Keiner macht einen Gewinn})=P(X\leq 4\cap Y\leq 4) \end{eqnarray*}$

Wegen Unabhängigkeit der Spiele gilt dann:

$\begin{eqnarray*} P(\text{Keiner macht einen Gewinn})=P(X\leq 4)\cdot P(Y\leq 4) \end{eqnarray*}$

Spiel A: Also $\begin{eqnarray*} P(X\leq 4)=P(\text{kein Gewinn})=P(\text{Anzahl Versuche ungerade}) \end{eqnarray*}$

Geometrische Verteilung: $\begin{eqnarray*} P(X=k)=p(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$ und die Anzahl der Versuche ungerade also ich setze $\begin{eqnarray*} 2k+1 \end{eqnarray*}$ ein ...

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{2k+1-1}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Passt das für Spiel A und Person 1 erstmal? Danach würde ich mal schauen wie ich die zweite Wahrscheinlichkeit gelöst bekomme verwirrt

Dankeschön smile

03.03.2021, 16:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
$\begin{eqnarray*} \text{X=Spieler 1 macht keinen Gewinn} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Y=Spieler 2 macht keinen Gewinn} \end{eqnarray*}$

Seltsames begriffliches Durcheinanderwürfeln von Ereignis- und Zufallsgrößenbezeichnungen. Da muss mehr Ordnung rein. unglücklich

"Spieler 1 macht keinen Gewinn" ist ein Ereignis. Was du aber mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ausdrücken willst ist der (Brutto-)Gewinn des Spielers 1, eine Zufallsgröße. In dem Sinn wird dann "Spieler 1 macht keinen Nettogewinn" durch das Ereignis $\begin{eqnarray*} \{X\leq 4\} \end{eqnarray*}$ beschrieben.

Die Berechnung passt aber.

04.03.2021, 07:39

yellowman

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Hallo Hal und danke für deine Antwort Gott

Wie würde das denn korrekt mit Schreibweise Ereignis und Zufallsvariable aussehen? Tue mir da immer etwas schwer das korrekt zu trennen. Noch eine Frage, wie kann es sein das die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl an Würfen zu benötigen größer ist als eine gerade Anzahl an Würfen zu benötigen? Das müsste doch auch 1/2 für gerade und 1/2 für ungerade sein genau so wie beim Münzwurf. Finde das irgendwie nicht intuitiv. Hammer

Jetzt zu dem Spiel b)

Für die Laplace Verteilung haben wir uns rausgeschrieben $\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{1}{2\gamma}\exp(-\frac{|t|}{\gamma}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma=\frac{1}{ln(2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt steht in der Aufgabe: Die Auszahlungshöhe entspricht dann dem Quadrat dieser ausgegebenen Zahl.

Was soll denn hier genau gemacht werden mit der Laplace Verteilung? verwirrt

Soll hier lediglich die 4 eingesetzt werden und dann diese Zahl quadrieren?

Vielen Dank Gott

04.03.2021, 21:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
Noch eine Frage, wie kann es sein das die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl an Würfen zu benötigen größer ist als eine gerade Anzahl an Würfen zu benötigen?

Wieso?

Zitat:

Original von yellowman
Das müsste doch auch 1/2 für gerade und 1/2 für ungerade sein genau so wie beim Münzwurf.

Der Vergleich hinkt - es gibt hier eine zeitliche Komponente: Die erste ungerade Wurfnummer liegt vor der ersten geraden Wurfnummer, die zweite ungerade Wurfnummer vor der zweiten geraden Wurfnummer usw. - für mich völlig logisch, dass dann eine ungerade Wurfnummer wahrscheinlicher ist was das Erstauftreten (!) des fraglichen Ereignisses "Zahl" betrifft.

Zitat:

Original von yellowman
Für die Laplace Verteilung haben wir uns rausgeschrieben $\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{1}{2\gamma}\exp(-\frac{|t|}{\gamma}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma=\frac{1}{ln(2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt steht in der Aufgabe: Die Auszahlungshöhe entspricht dann dem Quadrat dieser ausgegebenen Zahl.

Was soll denn hier genau gemacht werden mit der Laplace Verteilung? verwirrt

Es ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ laplaceverteilt, und du kennst die Dichte dieser stetigen Verteilung. Gesucht ist hier $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ .

Schon wieder vergessen, wie man sowas berechnet? Hatten wir letztens erst - streng dich doch mal an.

P.S.: Also gut, zur erneuten Auffrischung:

Zitat:

Original von HAL 9000
Scheint ein Dauerbrenner an Stochastik-Wissenslücke zu sein: Erwartungswert von Funktionen von Zufallsgrößen

05.03.2021, 07:47

yellowman

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Hallo Hal und danke für deine Antwort. Das mit der Zeit macht Sinn, hatte ich garnicht im Kopf.

Erstmal zur Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit das Spieler B keinen Gewinn macht ist ja $\begin{eqnarray*} P(Y\leq 4) \end{eqnarray*}$ und da muss ich integrieren?

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit müsste dann folgendermaßen ablaufen:

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq 4)=\int_0^4f(t)dt=\frac{1}{2\gamma}\int_0^4exp(-\frac{|x|}{\gamma})dx=-\frac{1}{2\gamma}\frac{|x|}{x}exp(-\frac{|x|}{\gamma})|_0^4 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig mit der Integration gemacht habe bekommt man ein Problem mit der unteren Grenze weshalb mir das nicht so ganz richtig erscheint. verwirrt

Lieben Dank für deine Hilfe Hal Gott

05.03.2021, 08:10

HAL 9000

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Ah, ja richtig, es geht hier ja gar nicht um den Erwartungswert, sondern um die "Gewinnhöhe $\begin{eqnarray*} \leq 4 \end{eqnarray*}$ " ... immer diese langen Pausen in deinen Threads, da vergisst man zwischendurch ja wieder alle Rahmenbedingungen.

Wenn $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die laplaceverteilte Größe ist, dann ist aber nicht $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} Y^2 \end{eqnarray*}$ der ausgezahlte Gewinn. Demnach geht es hier um

$\begin{eqnarray*} P\left(Y^2\leq 4\right) = P\left(|Y|\leq 2\right) = P\left(-2\leq Y\leq 2\right) = \frac{1}{2\gamma} \int\limits_{-2}^2 \exp\left(-\frac{|x|}{\gamma}\right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

05.03.2021, 08:27

yellowman

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Da kein Einwand gegen meine Stammfunktion kam gehe ich mal davon aus das die richtig ist. Dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} P(-2\leq Y\leq 2)=\int_{-2}^2f(t)dt=\frac{1}{2\gamma}\int_{-2}^2 exp(-\frac{|x|}{\gamma})dx=-\frac{1}{2\gamma}\frac{|x|}{x}exp(-\frac{|x|}{\gamma})|_{-2}^2=-\frac{1}{\gamma}exp(-\frac{2}{\gamma})\approx -0,1732... \end{eqnarray*}$

Das passt nicht weil die Wahrscheinlichkeit kleine Null ist. Irgendwas passt hier noch nicht ... Forum Kloppe

Dankeschön Gott

05.03.2021, 08:49

HAL 9000

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Ich hatte mir deine Stammfunktion noch gar nicht angesehen... Der Betrag ist schon störend, also umgeht man ihn am besten: Der Integrand ist eine gerade Funktion, daher gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\gamma} \int\limits_{-2}^2 \exp\left(-\frac{|x|}{\gamma}\right) ~ \dd x = 2\cdot \frac{1}{2\gamma} \int\limits_0^2 \exp\left(-\frac{|x|}{\gamma}\right) ~ \dd x = \frac{1}{\gamma} \int\limits_0^2 \exp\left(-\frac{x}{\gamma}\right) ~ \dd x = \frac{1}{\gamma} \left[-\gamma \exp\left(-\frac{x}{\gamma}\right)\right]_0^2 \end{eqnarray*}$

05.03.2021, 09:07

yellowman

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Richtig clever, dass hätte ich so nicht direkt gesehen mit der geraden Funktion Gott

Ich komme dann auf:
$\begin{eqnarray*} 1-\exp(-2\ln(2))=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich dann würde die Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray*} P(\text{Keiner macht Gewinn})=P(X\leq 4)P(Y\leq 4)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Kein besonders cleveres Casino Big Laugh

Den Erwartungswert spare ich mir jetzt mal. Wir zumindest sehr unschn wegen dem Betrag. Vielen Dank Hal, du hast super geholfen. Gott

Liebe Grüße smile

05.03.2021, 09:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
Kein besonders cleveres Casino Big Laugh

Ganz im Gegenteil: Es geht hier doch um den Gewinn der Spieler (= Verlust des Casinos).

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