K[X,Y]/(XY²), Hauptideale

04.03.2021, 14:51	Mathelephant	Auf diesen Beitrag antworten »
K[X,Y]/(XY²), Hauptideale Hallo! Ich bin heute auf eine Aufgabe in Bosch - Algebra gestoßen, zu der ich selbst keine Lösung finde. Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper, definiere $\begin{eqnarray} R := K[X,Y]/(XY²) \end{eqnarray}$ . Zeige: $\begin{eqnarray} \overline{X} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{X}+\overline{X}\overline{Y} \end{eqnarray}$ sind nicht assoziiert, aber die beiden von diesen Elementen erzeugten Hauptideale stimmen überein. (Wobei hier der Strich über zB X andeuten soll, dass es sich um die Restklasse aus R handelt) Meine Idee, bzw. meine bisherigen Erkenntnisse: Wegen $\begin{eqnarray} \overline{X} (1+\overline{Y}) = \overline{X}+\overline{X}\overline{Y} \end{eqnarray}$ ist also das von $\begin{eqnarray} \overline{X}+\overline{X}\overline{Y} \end{eqnarray}$ erzeugte Ideal in dem von $\begin{eqnarray} \overline{X} \end{eqnarray}$ erzeugten Ideal enthalten. Außerdem hatte ich die Idee, die Einheiten in R zu bestimmen, da das helfen könnte mit folgendem Widerspruchsansatz: Angenommen $\begin{eqnarray} \exists \overline{c} \in R^\times \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \overline{c} \overline{X} = \overline{X}+\overline{X}\overline{Y} \end{eqnarray}$ . Das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} \overline{X} (\overline{c}-\overline{1}-\overline{Y} = \overline{0} \end{eqnarray}$ , bzw. $\begin{eqnarray} X (c-1-Y) \in (X Y^2) \end{eqnarray}$ (nun in $\begin{eqnarray} K[X,Y] \end{eqnarray}$ gedacht). Also bekommt man, denke ich: $\begin{eqnarray} c-1-Y \mid Y² \end{eqnarray}$ . Jetzt bin ich mir hier aber nicht sicher, wie ich weitermachen kann. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} K[X,Y]^\times = K^\times \end{eqnarray}$ gilt, aber ich weiß nicht, wie die Einheiten $\begin{eqnarray} R^\times \end{eqnarray}$ aussehen, und wie genau $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ aussieht, welches ja aus $\begin{eqnarray} \overline{c} \in R^\times \end{eqnarray}$ hervorgeht. Falls $\begin{eqnarray} R^\times = K^\times \end{eqnarray}$ gelten sollte, habe ich eine Lösung gefunden. Aber gilt das? Ich habe hier eine Weile rumprobiert, bin aber auf nichts wirklich hilfreiches gekommen, glaube ich. Danke schonmal, Mathelephant
09.03.2021, 22:38	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (\overline{X+XY})\subseteq (\overline{X}) \end{eqnarray}$ hast du ja schon gezeigt. Für die umgekehrte Inklusion betrachte die Gleichung $\begin{eqnarray} (\overline{X}+\overline{XY})(\overline{1}-\overline{Y}) \end{eqnarray}$ . Zur Assoziiertheit bist du auch auf einer ganz guten Spur, deinen Ansatz kann man an der Stelle $\begin{eqnarray} X(c-1-Y) \in (XY^2) \subseteq K[X,Y] \end{eqnarray}$ zu einem Widerspruch führen, wenn man benutzt, dass $\begin{eqnarray} K[X,Y] \end{eqnarray}$ ein Integritätsring ist und dann epimorph $\begin{eqnarray} K[X,Y]\to K[T] \end{eqnarray}$ , also in einen Polynomring in einer Variablen, abbildet. Dies ist für ein analoges Beispiel unter https://blog.jpolak.org/?p=534 ausgeführt. Übrigens gilt $\begin{eqnarray} R^\times \neq K^\times \end{eqnarray}$ , so ist beispielsweise $\begin{eqnarray} (\overline{1}-\overline{XY})(\overline{1}+\overline{XY}) = \overline{1} \end{eqnarray}$ .

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